Исследование функции на непрерывность

Определение предмета и раздела задания:

Предмет: Математика

Раздел предмета: Математический анализ

Тема: Непрерывность функции

Теперь перейдем к решению.

Исследование функции \( f(x) = \frac{e^{3x}}{x+2} \) на непрерывность:

Функция считается непрерывной в точке \( x = c \), если:

1. Функция определена в точке \( x = c \), то есть существует \( f(c) \).
2. Существует конечный предел функции при \( x \to c \): \( \lim_{x \to c} f(x) \).
3. Значение функции в точке совпадает с пределом функции в этой точке: \( f(c) = \lim_{x \to c} f(x) \).

Функция \( f(x) = \frac{e^{3x}}{x+2} \) определена для всех \( x \), кроме \( x = -2 \), так как в этой точке знаменатель обращается в ноль, а деление на ноль не определено.

1. Исследуем точку \( x = -2 \):

1. Проверим, определена ли функция в точке \( x = -2 \):
   Подставляем \( x = -2 \) в функцию:
   \[ f(-2) = \frac{e^{3(-2)}}{-2+2} = \frac{e^{-6}}{0}, \]
   что не определено. Поэтому в точке \( x = -2 \) функция неопределена.
2. Проверим, существует ли предел \(\lim_{x \to -2}\):
   \[ \lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{e^{3x}}{x+2}. \]
   При \( x \to -2 \), знаменатель \( x+2 \to 0 \), а числитель \( e^{3x} \) стремится к конечному значению (\( e^{-6} \)).
   Таким образом, дробь \(\frac{e^{3x}}{x+2}\) стремится к бесконечности (\( +\infty \) или \( -\infty \), в зависимости от направления приближения \( x \) к \( -2 \)):
   
   • Если \( x \to -2^+ \) (с правой стороны), то дробь \(\frac{e^{3x}}{x+2}\) стремится к \( +\infty \) (знаменатель положителен).
   • Если \( x \to -2^- \) (с левой стороны), то дробь \(\frac{e^{3x}}{x+2}\) стремится к \( -\infty \) (знаменатель отрицателен).
   Таким образом, предел не существует.
3. В точке \( x = -2 \) функция не удовлетворяет определению непрерывности, так как:
   • Она не определена.
   • Левый и правый пределы не совпадают.

Вывод для точки \( x = -2 \):

Функция разрывна в точке \( x = -2 \) (разрыв первого рода — бесконечный разрыв).

2. Исследуем функцию на остальных интервалах:

На всем остальном промежутке, \( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty) \), функция является непрерывной, так как:

1. Знаменатель \( x+2 \neq 0 \), а экспонента \( e^{3x} \) определена и непрерывна на всей области определения.
2. Дробь \( \frac{e^{3x}}{x+2} \) — это частное двух непрерывных функций, где знаменатель ненулевой.

Итог:

• Непрерывной на множестве \( (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty) \).
• Имеет бесконечный разрыв в точке \( x = -2 \).

Функция \( f(x) = \frac{e^{3x}}{x+2} \) является: