Исследование функции на экстремумы (локальные максимумы и минимумы) с использованием частных производных

Определение предмета и раздела

Предмет: Математический анализ
Раздел: Исследование функции на экстремумы (локальные максимумы и минимумы) с использованием частных производных

Дано задание:

Исследовать функцию
f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy
на наличие локальных экстремумов.

ШАГ 1: Нахождение стационарных точек

Стационарные точки – это точки, в которых частные производные функции по обеим переменным равны нулю.

1.1. Вычисляем частные производные

Частные производные функции f(x, y) по x и y находим следующим образом:

Производная по x:

 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx} (x^4 + y^4 - 4xy) = 4x^3 - 4y 

Производная по y:

 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy} (x^4 + y^4 - 4xy) = 4y^3 - 4x 

1.2. Приравниваем частные производные к нулю

Находим стационарные точки, решая систему уравнений:

 4x^3 - 4y = 0 

 4y^3 - 4x = 0 

Упростим:

 x^3 - y = 0 

 y^3 - x = 0 

1.3. Решаем систему уравнений

Подставим y = x^3 во второе уравнение:

 (x^3)^3 - x = 0 

 x^9 - x = 0 

Вынесем x за скобки:

 x(x^8 - 1) = 0 

Решения:

1. x = 0
2. x^8 - 1 = 0 \Rightarrow x^8 = 1

Так как x^8 = 1, то x = \pm 1 (другие корни не рассматриваем, так как работаем с вещественными числами).

Теперь найдем соответствующие y:

• Если x = 0, то y = 0^3 = 0.
• Если x = 1, то y = 1^3 = 1.
• Если x = -1, то y = (-1)^3 = -1.

Таким образом, стационарные точки:
(0,0), (1,1), (-1,-1).

ШАГ 2: Исследуем характер стационарных точек с помощью матрицы Гессе

Для определения вида стационарных точек вычисляем вторые частные производные:

 f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x^2 

 f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12y^2 

 f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -4 

Запишем матрицу Гессе (матрицу вторых производных):

 H = \begin{bmatrix} 12x^2 & -4 \ -4 & 12y^2 \end{bmatrix} 

Определитель Гессе:

 D = (12x^2)(12y^2) - (-4)(-4) = 144x^2y^2 - 16 

ШАГ 3: Анализ знака определителя Гессе

Для точки (0,0):

 D = 144(0)(0) - 16 = -16 

Так как D < 0, точка (0,0) является седловой (не экстремум).

Для точки (1,1):

 D = 144(1)(1) - 16 = 128 > 0 

Так как D > 0 и f_{xx} = 12(1)^2 = 12 > 0, точка (1,1) является локальным минимумом.

Для точки (-1,-1):

 D = 144(-1)(-1) - 16 = 128 > 0 

Так как D > 0 и f_{xx} = 12(-1)^2 = 12 > 0, точка (-1,-1) также является локальным минимумом.

Ответ:

• Локальные минимумы в точках (1,1) и (-1,-1).
• Седловая точка в (0,0).