Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти предел \( \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^a - 1}{x} \) с использованием второго замечательного предела.
Известен второй замечательный предел: \[\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\]
Для решения данной задачи полезно применять его обобщение (которое дано в задании): \[\lim\limits_{\alpha(x) \to 0} \left( 1 + \alpha(x) \right)^{\frac{1}{\alpha(x)}} = e.\]
Здесь \( \alpha(x) \to 0 \) при \( x \to 0 \), и \( \alpha(x) \neq 0 \) в некоторой «проколотой» окрестности точки 0.
Рассмотрим выражение под знаком предела: \[\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^a - 1}{x}.\]
Используем разложение в ряд Тейлора для выражения \( (1+x)^a \) при \( x \to 0 \): \[(1 + x)^a = 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + O(x^3),\] где \( O(x^3) \) — остаточный член ряда, задающий члены порядка \( x^3 \) и выше.
Тогда: \[(1 + x)^a - 1 = ax + O(x^2).\]
Теперь подставим это в исходный предел: \[\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{ax + O(x^2)}{x}.\]
Разделим числитель и знаменатель: \[\lim\limits_{x \to 0} \left( a + O(x) \right) = a.\]
\[\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(1+x)^a - 1}{x} = a.\]
Мы использовали разложение \( (1+x)^a \) в ряд для малых \( x \) и свели решение к пределу от линейного выражения, что позволило легко найти конечный результат без применения правила Лопиталя.