Используя табличные многочлены Макларена найдите многочлен Макларена функции степени 3 с остаточным членом в форме Пеано

Данное задание относится к математическому анализу, а точнее к разделу, связанному с рядом Маклорена (частный случай ряда Тейлора при \(a = 0\)) и приближённым представлением функций с помощью многочленов.

В задании требуется найти многочлен Маклорена функции: \[ f(x) = (x^2 - x - 1)e^{-x} \] с остаточным членом в форме Пеано для многочлена степени 3.

1. Разложение функции \( e^{-x} \)

Сначала вспомним разложение экспоненты \( e^{-x} \) в ряд Маклорена. Это стандартная функция, и её разложение имеет вид: \[ e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4). \]

2. Найдём разложение функции \( f(x) = (x^2 - x - 1)e^{-x} \).

Произведение функции \( (x^2 - x - 1) \) и степенного ряда для \( e^{-x} \) мы можем вычислить напрямую. Рассмотрим произведение: \[ f(x) = (x^2 - x - 1) \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + O(x^4) \right). \] Теперь раскроем скобки и проведем вычисления до членов, содержащих \( x^3 \): \[ f(x) = (x^2 - x - 1) \left( 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} \right). \] Раскроем поочередно все слагаемые:

• \( -1 \cdot (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}) = -1 + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \)
• \( -x \cdot (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}) = -x + x^2 - \frac{x^3}{2} + O(x^4) \)
• \( x^2 \cdot (1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}) = x^2 - x^3 + O(x^4) \)

Подведём все вычисления и выделим члены до \( x^3 \): \[ f(x) = (-1 + x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) + (-x + x^2 - \frac{x^3}{2}) + (x^2 - x^3). \] Теперь соберём одинаковые степени \( x \):

• Постоянная: \( -1 \);
• При \( x \): \( x - x = 0 \);
• При \( x^2 \): \( -\frac{x^2}{2} + x^2 = \frac{x^2}{2} \);
• При \( x^3 \): \( \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{2} - x^3 = -\frac{11x^3}{6} \).

3. Многочлен Маклорена третьей степени

Таким образом, многочлен Маклорена функции \( f(x) = (x^2 - x - 1) e^{-x} \) до третьей степени по \( x \) имеет вид: \[ P_3(x) = -1 + \frac{x^2}{2} - \frac{11x^3}{6}. \]

4. Остаточный член в форме Пеано

Остаточный член в форме Пеано записывается через \( o(x^n) \), где \( n \) — порядковый номер старшего члена, который не был учтён в разложении. В данном случае старший учтённый член — это \( x^3 \), так что остаточный член будет \( o(x^3) \). Итак, итоговый результат: \[ f(x) = -1 + \frac{x^2}{2} - \frac{11x^3}{6} + o(x^3). \]