Предмет: Математика (раздел: математический анализ)
Тема: Ряды Маклорена (разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки 0)
Задана функция: \[ f(x) = (2x - 1)^2 \ln(1 - 2x) \]
Нам требуется найти многочлен Маклорена этой функции степени 3 (это разложение функции до третьей степени включительно с остаточным членом в форме Пеано).
Шаги решения:
- Найдём разложения для отдельных частей функции:
- Разложение для \( \ln(1 - 2x) \) известно из таблицы классических разложений: \[ \ln(1 - 2x) \approx -2x - 2x^2 - \dfrac{8x^3}{3} + O(x^4) \]
Заметим, что нам нужно именно разложение до третьей степени включительно.
- Теперь раскроем \( (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \) и перемножим это выражение на разложение логарифма. Ведомое разложение: \[ f(x) = (4x^2 - 4x + 1) \ln(1 - 2x) \]
- Проведем перемножение (последовательно рассмотрим произведение каждого члена):
- \[ (4x^2) \ln(1 - 2x) = 4x^2(-2x - 2x^2 - \frac{8x^3}{3}) = -8x^3 - 8x^4 + O(x^5) \]
- \[ (-4x) \ln(1 - 2x) = -4x(-2x - 2x^2 - \frac{8x^3}{3}) = 8x^2 + 8x^3 + O(x^4) \]
- \[ (1) \ln(1 - 2x) = (-2x - 2x^2 - \frac{8x^3}{3}) = -2x - 2x^2 - \frac{8x^3}{3} \]
- Теперь сложим все полученные выражения (до третьей степени включительно): \[ f(x) = (-8x^3) + (8x^2 + 8x^3) + (-2x - 2x^2 - \frac{8x^3}{3}) = -2x + 6x^2 + \left( -8x^3 + 8x^3 - \frac{8x^3}{3} \right) \]
- Перепишем для \(x^3\): \[ -8x^3 + 8x^3 - \frac{8x^3}{3} = -\frac{8x^3}{3} \]
Итак, итоговый многочлен Маклорена степени 3 функции \(f(x)\):
\[ f(x) \approx -2x + 6x^2 - \frac{8x^3}{3} + o(x^3) \]
Остаточный член обозначен как \( o(x^3) \) (это форма Пеано, которая указывает, что остаток стремится к нулю быстрее, чем \(x^3\), когда \(x \to 0\)).
Ответ:
Разложение Маклорена функции \( f(x) = (2x - 1)^2 \ln(1 - 2x) \) до третьей степени:
\[ f(x) \approx -2x + 6x^2 - \frac{8x^3}{3} + o(x^3) \]