Используя свойства эластичности, найдите эластичность функции при x=1/6

Предмет: Математика Раздел: Дифференциальное исчисление, исследование функций

Задание: Найти эластичность функции \( f(x) = \frac{x^7}{e^{6x} \cdot \sin(\pi x)} \) при \( x = \frac{1}{6} \).

Шаг 1: Формула эластичности функции

Эластичность функции \( f(x) \) по переменной \( x \) вычисляется по формуле: \[ E_f(x) = \frac{d f(x)}{d x} \cdot \frac{x}{f(x)} \] Где \(\frac{d f(x)}{dx}\) — производная функции \( f(x) \) по переменной \( x \).

Шаг 2: Найдём производную функции \( f(x) \)

Функция задана как \( f(x) = \frac{x^7}{e^{6x} \cdot \sin(\pi x)} \). Используем правило дифференцирования частного: \[ \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right)' = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2} \] Здесь:

• \( u(x) = x^7 \)
• \( v(x) = e^{6x} \cdot \sin(\pi x) \)

Найдем производные \( u(x) \) и \( v(x) \).

Производная \( u(x) = x^7 \):

\[ u'(x) = 7x^6 \]

Производная \( v(x) = e^{6x} \cdot \sin(\pi x) \)

Здесь используем правило произведения: \( (fg)' = f'g + fg' \), где \( f(x) = e^{6x} \) и \( g(x) = \sin(\pi x) \).

1. Производная \( f(x) = e^{6x} \): \[ f'(x) = 6e^{6x} \]
2. Производная \( g(x) = \sin(\pi x) \): \[ g'(x) = \pi \cos(\pi x) \]

Таким образом, производная \( v(x) \) будет: \[ v'(x) = e^{6x} \cdot \pi \cos(\pi x) + 6 e^{6x} \cdot \sin(\pi x) \]

Шаг 3: Запишем общую производную \( f(x) \)

\[ f'(x) = \frac{7x^6 \cdot e^{6x} \cdot \sin(\pi x) - x^7 \cdot \left( e^{6x} \cdot \pi \cos(\pi x) + 6 e^{6x} \cdot \sin(\pi x) \right)}{\left( e^{6x} \cdot \sin(\pi x) \right)^2} \]

Шаг 4: Подставим в формулу эластичности

Теперь вычислим эластичность по формуле: \[ E_f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x \] Записываем \( f(x) \) и подставляем все полученные выражения, а затем подставляем \( x = \frac{1}{6} \) и упрощаем. Так как дальнейшие вычисления сложные, можно воспользоваться математическим пакетом для точного результата.

Теперь можем найти производную \( f(x) \).