Используя правила интегрирования по частям для неопределенных и определённых интегралов

Этот интеграл задан в пределах от 0 до 1 и представляет собой определенный интеграл математического анализа, который требует применения метода интегрирования по частям. Рассмотрим интеграл: \[ \int_{0}^{1} x \arctg (x) \, dx \] Применим метод интегрирования по частям. В интегрировании по частям используется следующая формула: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Для применения этой формулы необходимо подобрать функции \( u \) и \( dv \). Пусть: \[ u = \arctg(x) \] \[ dv = x \, dx \] Тогда: \[ du = \frac{d}{dx}(\arctg(x)) \, dx = \frac{1}{1 + x^2} \, dx \] \[ v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \] Теперь подставим все в формулу интегрирования по частям: \[ \int_{0}^{1} x \arctg(x) \, dx = \left. \arctg(x) \cdot \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^2} \, dx \] Верхний интеграл можно записать как: \[ \left[ \frac{x^2}{2} \arctg(x) \right]_{0}^{1} \] Теперь нужно вычислить интеграл: \[ \left[ \frac{x^2}{2} \arctg(x) \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} \arctg(1) - \frac{0^2}{2} \arctg(0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{8} \] Теперь вычислим второй интеграл: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2(1 + x^2)} \, dx \] Упростим интеграл: \[ \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2(1 + x^2)} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{1 + x^2} \, dx \] Теперь сделаем замену \( t = 1 + x^2 \), тогда \( dt = 2x \, dx \) и \( dx = \frac{dt}{2x} \). Соответственно, пределы интегрирования будут изменены следующим образом: при \( x = 0 \), \( t = 1 \); при \( x = 1 \), \( t = 2 \). Интеграл принимает вид: \[ \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{t - 1}{t} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{4} \int_{1}^{2} \left(1 - \frac{1}{t}\right) \, dt = \frac{1}{4} \left[ t - \ln |t| \right]_{1}^{2} \] Подставим пределы интегрирования: \[ \frac{1}{4} \left[ (2 - \ln 2) - (1 - \ln 1) \right] = \frac{1}{4} \left[ 2 - \ln 2 - 1 + 0 \right] = \frac{1}{4} (1 - \ln 2) \] Таким образом, итоговый результат: \[ \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} (1 - \ln 2) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{\ln 2}/4 \] Или, объединив все части: \[ \int_{0}^{1} x \arctg(x) \, dx = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{\ln 2}/4 \] Таким образом, интеграл имеет значение: \[ \boxed{\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} + \frac{\ln 2}/4} \]