Используя определение или следствие критерия Коши докажи что интеграл сходится неравномерно на множестве

Предмет: Математический анализ
Раздел: Несобственные интегралы, критерий Коши для равномерной сходимости

Рассмотрим интеграл
 I(a_0, B) = \int_{0}^{B} \frac{x^2 a_0 - a_0^3}{\sqrt{x} (a_0^2 + x^2)} \,dx. 

Нам нужно доказать, что этот интеграл расходится неравномерно на множестве E = (0,1).

Шаг 1: Определение неравномерной сходимости

Интеграл I(a_0, B) сходится равномерно на E = (0,1), если
 \forall \varepsilon > 0, \quad \exists B_0 > 0, \quad \forall B \in (0, B_0), \quad \forall a_0 \in E: \quad \left| I(a_0, B) \right| < \varepsilon. 
Чтобы доказать неравномерную сходимость, достаточно показать существование \varepsilon_0 > 0, такого что
 \forall B \in (0,1), \quad \exists B_1 \in (0, B), \quad \exists a_0 \in E, \quad \left| I(a_0, B_1) \right| \geq \varepsilon_0. 

Шаг 2: Выбор подходящего значения a_0

Рассмотрим случай, когда a_0 мал, скажем a_0 \to 0. Тогда знаменатель a_0^2 + x^2 приближается к x^2, и подынтегральная функция принимает вид:
 \frac{x^2 a_0 - a_0^3}{\sqrt{x} (a_0^2 + x^2)} \approx \frac{x^2 a_0}{\sqrt{x} x^2} = \frac{a_0}{\sqrt{x}}. 

Шаг 3: Выбор B_1 и оценка интеграла

Рассмотрим интеграл в пределах [0, B_1]:
 I(a_0, B_1) \approx \int_{0}^{B_1} \frac{a_0}{\sqrt{x}} \,dx. 
Этот интеграл вычисляется явно:
 I(a_0, B_1) = a_0 \int_{0}^{B_1} x^{-1/2} \,dx = a_0 \cdot 2x^{1/2} \Big|_0^{B_1} = 2 a_0 \sqrt{B_1}. 

Если взять B_1 = a_0^2, то получаем:
 I(a_0, B_1) = 2 a_0 \sqrt{a_0^2} = 2 a_0^2. 

Выбирая a_0 таким, что 2 a_0^2 \geq \varepsilon_0 для некоторого фиксированного \varepsilon_0 > 0, мы получаем требуемое условие.

Вывод

Мы показали, что существует \varepsilon_0 > 0, такое что для любого B \in (0,1) можно найти B_1 \in (0, B) и a_0 \in E, удовлетворяющие
 \left| I(a_0, B_1) \right| \geq \varepsilon_0. 
Следовательно, интеграл не сходится равномерно на E = (0,1).