Использовать правило дифференцирования сложной функции, чтобы найти производные для представленных выражений

Данный вопрос относится к математике, конкретно к разделу математического анализа — дифференцированию функций.

В данном случае нам нужно использовать правило дифференцирования сложной функции, чтобы найти производные для представленных выражений. Рассмотрим каждый пункт по порядку:

---

9) \( y = \sin{2x} \)

Для нахождения производной этой функции нам нужно воспользоваться правилом цепочки:

\( y' = (\sin{f(x)})' = \cos{f(x)} \cdot f'(x) \)

В данном случае \( f(x) = 2x \), следовательно, производная \( f'(x) = 2 \). Таким образом:

\( y' = \cos{2x} \cdot 2 = 2 \cos{2x} \)

---

10) \( y = \cos{\frac{x}{3}} \)

Аналогично предыдущему примеру, снова применяется правило цепочки:

\( y' = (\cos{f(x)})' = -\sin{f(x)} \cdot f'(x) \)

Здесь \( f(x) = \frac{x}{3} \), его производная \( f'(x) = \frac{1}{3} \). Следовательно:

\( y' = -\sin{\frac{x}{3}} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3}\sin{\frac{x}{3}} \)

---

11) \( y = \sin^3{x} + \cos^2{x} \)

1. Для первой части \( \sin^3{x} \) используем формулу для производной степенной функции и правило цепочки:

\( \left( \sin^3{x} \right)' = 3\sin^2{x} \cdot \cos{x} \)

2. Для второй части \( \cos^2{x} \):

\( \left( \cos^2{x} \right)' = 2\cos{x} \cdot (-\sin{x}) = -2\cos{x}\sin{x} \)

Итак, результат для всей функции:

\( y' = 3\sin^2{x}\cos{x} - 2\cos{x}\sin{x} \)

---

12) \( y = (2x^3 + 2x - 1)^3 \)

Здесь также применяем правило цепочки. Для начала производим дифференцирование внешней функции:

\( y' = 3(2x^3 + 2x - 1)^2 \cdot (2x^3 + 2x - 1)' \)

Теперь дифференцируем внутреннюю функцию \( 2x^3 + 2x - 1 \):

\( (2x^3 + 2x - 1)' = 6x^2 + 2 \)

Таким образом:

\( y' = 3(2x^3 + 2x - 1)^2 \cdot (6x^2 + 2) \)

---

13) \( y = \sqrt[5]{(2x + 3)^3} \)

Для данной функции уместно использовать правило цепочки и производную степенной функции:

1. Переписываем функцию как степенную: \( y = \left( (2x + 3)^3 \right)^{\frac{1}{5}} = (2x + 3)^{\frac{3}{5}} \).

2. Применяем правило дифференцирования степенной функции:

\( y' = \frac{3}{5}(2x + 3)^{\frac{3}{5} - 1} \cdot (2x + 3)' \)

Производная внутренней функции \( (2x + 3)' = 2 \). ПОДСТАВИМ:

\( y' = \frac{3}{5}(2x + 3)^{-\frac{2}{5}} \cdot 2 = \frac{6}{5}(2x + 3)^{-\frac{2}{5}} \)

---

14) \( y = \sqrt{\sin{3x} + 2x} \)

Переписываем функцию как степенную: \( y = (\sin{3x} + 2x)^{\frac{1}{2}} \).

1. Производная внешней функции:

\( \left( (\sin{3x} + 2x)^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2}(\sin{3x} + 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (\sin{3x} + 2x)' \)

2. Дифференцируем внутреннюю функцию:

\( (\sin{3x} + 2x)' = 3\cos{3x} + 2 \)

Подставим:

\( y' = \frac{1}{2}(\sin{3x} + 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (3\cos{3x} + 2) \)

---

15) \( y = \cos(x^2 + 3x + 1) \)

Опять используем правило цепочки:

\( y' = -\sin{(x^2 + 3x + 1)} \cdot (x^2 + 3x + 1)' \)

Теперь дифференцируем внутреннюю функцию \( x^2 + 3x + 1 \):

\( (x^2 + 3x + 1)' = 2x + 3 \)

Следовательно:

\( y' = -\sin{(x^2 + 3x + 1)} \cdot (2x + 3) \)

---

16) \( y = \tan{x} + \frac{1}{2} \tan^2{x} + \frac{1}{3}\tan^3{x} \)

1. Производная первой части — стандартная производная тангенса:

\( (\tan{x})' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \)

2. Производная второй части:

\( \left( \frac{1}{2}\tan^2{x} \right)' = \frac{1}{2} \cdot 2\tan{x} \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} = \tan{x} \cdot sec^2{x} \)

3. Производная третьей части:

\( \left( \frac{1}{3}\tan^3{x} \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3\tan^2{x} \cdot \frac{1}{\cos^2{x}} = \tan^2{x} \cdot sec^2{x} \)

Теперь суммируем все части:

\( y' = \sec^2{x} + \tan{x} \cdot sec^2{x} + \tan^2{x} \cdot sec^2{x} \)

---

Надеюсь, это поможет вам в освоении темы дифференцирования сложных функций!