Иследуй методом дифференциального исчисления и определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Это задание относится к предмету математика, разделу дифференциальное исчисление, включая анализ функций и исследование их свойств (выпуклость, вогнутость, точки перегиба). Мы будем применять первую и вторую производные функции. Давайте разберем задачу пошагово.

Дано:

Функция \( y = \frac{1}{e^2 - x} \).

Цель:

1. Определить интервалы выпуклости и вогнутости.
2. Найти точки перегиба.

Шаг 1. Найдем первую производную \( y' \):

Функция \( y = \frac{1}{e^2 - x} \) представляет собой частное, поэтому удобнее записать её в виде степени:

\[ y = (e^2 - x)^{-1}. \]

Теперь возьмем производную:

\[ y' = -1 \cdot (e^2 - x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(e^2 - x)^2}. \]

Итак, первая производная:

\[ y' = \frac{1}{(e^2 - x)^2}. \]

Шаг 2. Найдем вторую производную \( y'' \):

Для нахождения второй производной от \( y' = \frac{1}{(e^2 - x)^2} \) используем правило дифференцирования сложной функции. Запишем \( (e^2 - x)^{-2} \):

\[ y' = (e^2 - x)^{-2}. \]

Производная:

\[ y'' = -2 \cdot (e^2 - x)^{-3} \cdot (-1) = \frac{2}{(e^2 - x)^3}. \]

Итак, вторая производная:

\[ y'' = \frac{2}{(e^2 - x)^3}. \]

Шаг 3. Найти интервалы выпуклости и вогнутости:

Чтобы определить выпуклость и вогнутость, анализируем знак \( y'' \). Замечаем, что знаменатель \( (e^2 - x)^3 \) определяет знак второй производной:

• Если знаменатель положителен (\( e^2 - x > 0 \), или \( x < e^2 \)), то \( y'' > 0 \): функция выпуклая.
• Если знаменатель отрицателен (\( e^2 - x < 0 \), или \( x > e^2 \)), то \( y'' < 0 \): функция вогнутая.

Таким образом:

• Интервал выпуклости: \( x < e^2 \).
• Интервал вогнутости: \( x > e^2 \).

Шаг 4. Найти точки перегиба:

Точка перегиба — это такая точка, где \( y'' = 0 \) или \( y'' \) меняет знак. В данном случае знаменатель второй производной (\( (e^2 - x)^3 \)) никогда не равен 0. Однако смена знака происходит в точке \( x = e^2 \) — это точка разграничения выпуклости и вогнутости.

Итак:

Ответ:

1. Интервалы выпуклости: \( x < e^2 \).
2. Интервалы вогнутости: \( x > e^2 \).
3. Точка перегиба: \( x = e^2 \).

Точка перегиба: \( x = e^2 \).