Иследуй методом дифференциального исчисления и определить интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Это задание относится к предмету математика, разделу дифференциальное исчисление, включая анализ функций и исследование их свойств (выпуклость, вогнутость, точки перегиба). Мы будем применять первую и вторую производные функции. Давайте разберем задачу пошагово.

Дано:

Функция $\text{(}y=\frac{1}{e^2-x}\text{)}$.

Цель:

1. Определить интервалы выпуклости и вогнутости.
2. Найти точки перегиба.

Шаг 1. Найдем первую производную $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$:

Функция $\text{(}y=\frac{1}{e^2-x}\text{)}$ представляет собой частное, поэтому удобнее записать её в виде степени:

$\text{[}y=(e^2-x{)}^{-1}.\text{]}$

Теперь возьмем производную:

$\text{[}{y}^{\prime }=-1\cdot (e^2-x{)}^{-2}\cdot (-1)=\frac{1}{(e^2-x{)}^2}.\text{]}$

Итак, первая производная:

$\text{[}{y}^{\prime }=\frac{1}{(e^2-x{)}^2}.\text{]}$

Шаг 2. Найдем вторую производную $\text{(}{y}^{″}\text{)}$:

Для нахождения второй производной от $\text{(}{y}^{\prime }=\frac{1}{(e^2-x{)}^2}\text{)}$ используем правило дифференцирования сложной функции. Запишем $\text{(}(e^2-x{)}^{-2}\text{)}$:

$\text{[}{y}^{\prime }=(e^2-x{)}^{-2}.\text{]}$

Производная:

$\text{[}{y}^{″}=-2\cdot (e^2-x{)}^{-3}\cdot (-1)=\frac{2}{(e^2-x{)}^3}.\text{]}$

Итак, вторая производная:

$\text{[}{y}^{″}=\frac{2}{(e^2-x{)}^3}.\text{]}$

Шаг 3. Найти интервалы выпуклости и вогнутости:

Чтобы определить выпуклость и вогнутость, анализируем знак $\text{(}{y}^{″}\text{)}$. Замечаем, что знаменатель $\text{(}(e^2-x{)}^3\text{)}$ определяет знак второй производной:

• Если знаменатель положителен ($\text{(}{e}^2-x>0\text{)}$, или $\text{(}x<e^2\text{)}$), то $\text{(}{y}^{″}>0\text{)}$: функция выпуклая.
• Если знаменатель отрицателен ($\text{(}{e}^2-x<0\text{)}$, или $\text{(}x>e^2\text{)}$), то $\text{(}{y}^{″}<0\text{)}$: функция вогнутая.

Таким образом:

• Интервал выпуклости: $\text{(}x<e^2\text{)}$.
• Интервал вогнутости: $\text{(}x>e^2\text{)}$.

Шаг 4. Найти точки перегиба:

Точка перегиба — это такая точка, где $\text{(}{y}^{″}=0\text{)}$ или $\text{(}{y}^{″}\text{)}$ меняет знак. В данном случае знаменатель второй производной ($\text{(}(e^2-x{)}^3\text{)}$) никогда не равен 0. Однако смена знака происходит в точке $\text{(}x=e^2\text{)}$ — это точка разграничения выпуклости и вогнутости.

Итак:

Ответ:

1. Интервалы выпуклости: $\text{(}x<e^2\text{)}$.
2. Интервалы вогнутости: $\text{(}x>e^2\text{)}$.
3. Точка перегиба: $\text{(}x=e^2\text{)}$.

Точка перегиба: $\text{(}x=e^2\text{)}$.