Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), Найти производную функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (производные)

Найдем производную функции y = \frac{1}{x^2 + x - 6}, используя определение производной:

Определение производной:  y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x + \Delta x) - y(x)}{\Delta x}. 

Подставим y(x) = \frac{1}{x^2 + x - 6} в определение.

1. Шаг 1. Вычисление y(x + \Delta x):

 y(x + \Delta x) = \frac{1}{(x + \Delta x)^2 + (x + \Delta x) - 6}. 

Раскроем скобки в знаменателе:  (x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2,   (x + \Delta x) = x + \Delta x. 

Тогда:  y(x + \Delta x) = \frac{1}{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x - 6}. 

2. Шаг 2. Разность y(x + \Delta x) - y(x):

 y(x + \Delta x) - y(x) = \frac{1}{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x - 6} - \frac{1}{x^2 + x - 6}. 

Приведем дроби к общему знаменателю:  y(x + \Delta x) - y(x) = \frac{(x^2 + x - 6) - (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x - 6)}{(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x - 6)(x^2 + x - 6)}. 

Раскроем скобки в числителе:  (x^2 + x - 6) - (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x - 6) = -2x\Delta x - (\Delta x)^2 - \Delta x. 

Тогда:  y(x + \Delta x) - y(x) = \frac{-2x\Delta x - (\Delta x)^2 - \Delta x}{(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x - 6)(x^2 + x - 6)}. 

3. Шаг 3. Деление на \Delta x:

 \frac{y(x + \Delta x) - y(x)}{\Delta x} = \frac{-2x - \Delta x - 1}{(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + x + \Delta x - 6)(x^2 + x - 6)}. 

4. Шаг 4. Предел при \Delta x \to 0:

При \Delta x \to 0 числитель стремится к -2x - 1, а знаменатель к (x^2 + x - 6)^2. Таким образом:  y'(x) = \frac{-2x - 1}{(x^2 + x - 6)^2}. 

Ответ:

 y'(x) = \frac{-2x - 1}{(x^2 + x - 6)^2}.