Интегрирования выражения

Данное задание относится к курсу математики, а именно к разделу интегралов (интегрирование) в курсе математического анализа.

Решение:

1. Интеграл (Н)

\[ \int \frac{x^3 + 2x + 3}{x+1} dx \]

Для интегрирования этого выражения следует сначала выполнить деление числителя на знаменатель способом деления многочленов.

Шаг 1: Выполним деление многочленов

Нам нужно разделить \(x^3 + 2x + 3\) на \(x+1\).

• Выполним деление:
• Первое, что нам нужно сделать: разделим первый член \(x^3\) на первый член знаменателя \(x\), чтобы получить первый член частного: \(x^2\).
• Теперь умножаем \(x^2\) на \(x+1\): \(x^2 \cdot (x+1) = x^3 + x^2\).
• Вычитаем результат из \(x^3 + 2x + 3\): \[ (x^3 + 2x + 3) - (x^3 + x^2) = -x^2 + 2x + 3 \]
• Следующий шаг: разделим \(-x^2\) на \(x\), чтобы получить следующий член частного: \(-x\).
• Умножаем \(-x\) на \(x+1\): \(-x \cdot (x+1) = -x^2 - x\).
• Вычитаем результат из остатка \(-x^2 + 2x + 3\): \[ (-x^2 + 2x + 3) - (-x^2 - x) = 3x + 3 \]
• Последний шаг: разделим \(3x\) на \(x\), чтобы получить следующий член частного: \(3\).
• Умножаем \(3\) на \(x+1\): \(3(x+1) = 3x + 3\).
• Остаток равен нулю.

Итак, результат деления: \[ \frac{x^3 + 2x + 3}{x+1} = x^2 - x + 3 \]

Шаг 2: Интегрирование

Теперь мы можем выполнить интегрирование с учётом результата деления: \[ \int \left( x^2 - x + 3 \right) dx = \int x^2 dx - \int x dx + \int 3 dx \]

Используем основные правила интегрирования:

\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ \ \text{(при}\ n \neq -1\text{)} \] и \[ \int c dx = cx \]

Выполним интегрирование: \[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3},\ \ \int x dx = \frac{x^2}{2},\ \ \int 3 dx = 3x \]

Таким образом, результат: \[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 3x + C \]

где \(C\) — произвольная постоянная интегрирования.

Итак, для первого интеграла (H) решение: \[ \int \frac{x^3 + 2x + 3}{x+1} dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 3x + C \]

2. Интеграл (О)

Шаг 1: Упростим подкоренное выражение

Запишем подкоренное выражение: \[ 16x^2 + 16 = 16(x^2 + 1) \]

Тогда исходный интеграл перепишем так: \[ \int \frac{3}{\sqrt{16(x^2 + 1)}} dx = \int \frac{3}{4\sqrt{x^2+1}} dx \] (мы вынесли 16 из под корня и извлекли корень).

Теперь упростим множитель: \[ \frac{3}{4} \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} dx \]

Шаг 2: Интегрирование

Интеграл \(\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx\) является стандартным и равен: \[ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \text{arsh}(x) = \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) \]

Следовательно, результат: \[ \frac{3}{4} \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + C \]

Итак, для второго интеграла (O) решение: \[ \int \frac{3}{\sqrt{16x^2 + 16}} dx = \frac{3}{4} \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + C \]

Ответы:

• Для первого интеграла (H): \[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 3x + C \]
• Для второго интеграла (O): \[ \frac{3}{4} \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + C \]