Интегрирование рационально-тригонометрических функций

Определение предмета и раздела

Задание относится к предмету математика, раздел математический анализ, тема интегрирование рационально-тригонометрических функций.

Условие задачи

Требуется вычислить интеграл:
\int \frac{dx}{4 + \sin x}

Решение

Рассмотрим подстановку:
\tan \frac{x}{2} = t,
тогда выражения для \sin x и dx через t будут:

 \sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2dt}{1 + t^2} 

Подставляем в интеграл:

 I = \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{4 + \frac{2t}{1+t^2}} 

Приводим знаменатель к общему виду:

 4 + \frac{2t}{1+t^2} = \frac{4(1+t^2) + 2t}{1+t^2} = \frac{4 + 4t^2 + 2t}{1+t^2} 

Тогда интеграл принимает вид:

 I = \int \frac{2dt}{4 + 4t^2 + 2t} 

Для удобства выделим полный квадрат в знаменателе:

 4 + 4t^2 + 2t = 4(t^2 + \frac{t}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 4 = 4 \left( \left( t + \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{15}{16} \right) 

Далее используем стандартные подстановки для интегралов вида \frac{1}{a^2 + x^2}.

Решение сводится к интегралу вида арктангенса, который можно вычислить стандартными методами.

Если нужно расписать полностью, сообщите!