Интегрирование функций

Определение предмета и раздела:

Данный интеграл относится к предмету "Математический анализ", а именно к разделу "Интегрирование функций".

Решение:

Дан интеграл:

 I = \int \frac{(\operatorname{arcctg}x)^4}{1 + x^2} \,dx 

Замена переменной:

Известно, что:

 t = \operatorname{arcctg}x 

Тогда производная:

 \frac{dt}{dx} = -\frac{1}{1 + x^2} 

Следовательно,

 dx = -(1 + x^2) dt 

Подставляя в интеграл:

 I = \int t^4 (-dt) = -\int t^4 dt 

Интегрирование:

 -\int t^4 dt = -\frac{t^5}{5} + C 

Возвращение к исходной переменной:

 t = \operatorname{arcctg}x 

Следовательно, окончательный ответ:

 I = -\frac{(\operatorname{arcctg}x)^5}{5} + C 

Ответ:

 -\frac{(\operatorname{arcctg}x)^5}{5} + C