График области интегрирования

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (кратные интегралы, переход к полярным координатам)

Решение:

Дан двойной интеграл:

\iint\limits_{D} f(x,y) \,dx\,dy

где область D задана уравнением:

x^2 + y^2 = 3x, \quad y \geq x.

1. Преобразуем уравнение в полярные координаты:

Используем переход к полярным координатам:

x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta.

Подставляем в уравнение окружности:

(r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2 = 3r\cos\theta.

Так как x^2 + y^2 = r^2, получаем:

r^2 = 3r\cos\theta.

Разделим на r (при r \neq 0):

r = 3\cos\theta.

2. Определение пределов интегрирования:

• Радиус r изменяется от 0 до 3\cos\theta.
• Угол \theta определяется неравенством y \geq x, что соответствует углам \theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}].

3. Запись интеграла в полярных координатах:

При переходе в полярные координаты якобиан равен r, поэтому:

\iint\limits_{D} f(x,y) \,dx\,dy = \int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}} \int\limits_0^{3\cos\theta} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \,dr\,d\theta.

График области интегрирования:

Область D ограничена окружностью x^2 + y^2 = 3x, которая является окружностью с центром в точке (\frac{3}{2}, 0) и радиусом \frac{3}{2}.

При этом область ограничена сверху неравенством y \geq x, что соответствует прямой y = x.

Таким образом, область представляет собой часть круга, расположенную в верхней левой части плоскости, ограниченную дугой окружности и прямой y = x.