Функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки

Предмет: Математический анализ
Раздел: Ряды Лорана

Разложим функцию f(z) = \cos\left(\frac{z^2 - 4z}{(z-2)^2}\right) в ряд Лорана в окрестности точки z_0 = 2.

1. Упростим аргумент косинуса:

Рассмотрим выражение в аргументе косинуса:  \frac{z^2 - 4z}{(z-2)^2}.  Разложим числитель:  z^2 - 4z = z(z - 4).  Перепишем дробь:  \frac{z(z - 4)}{(z - 2)^2}.  Разделим числитель:  \frac{z(z - 4)}{(z - 2)^2} = \frac{(z-2+2)((z-2)-2)}{(z-2)^2}.  Раскроем скобки:  \frac{(z-2+2)(z-2-2)}{(z-2)^2} = \frac{(z-2+2)(z-4)}{(z-2)^2}.  Представим числитель в удобной форме:  \frac{(z-2+2)(z-4)}{(z-2)^2} = \frac{(z-2+2)(z-2-2)}{(z-2)^2}.  Разделим:  \frac{(z-2+2)(z-2-2)}{(z-2)^2} = \frac{(z-2+2)}{(z-2)} \cdot \frac{(z-2-2)}{(z-2)}.  Разделим каждую дробь:  \left(1 + \frac{2}{z-2}\right) \left(1 - \frac{2}{z-2}\right).  Используем формулу разности квадратов:  1 - \left(\frac{2}{z-2}\right)^2.  Таким образом, аргумент косинуса упрощается до:  1 - \left(\frac{2}{z-2}\right)^2. 

2. Разложение косинуса в ряд Тейлора

Используем разложение в ряд Тейлора для \cos(x) в окрестности x = 0:  \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}.  Подставим x = \frac{2}{z-2}:  \cos \left(1 - \left(\frac{2}{z-2}\right)^2\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \left(1 - \left(\frac{2}{z-2}\right)^2\right)^{2n}. 

Разложим 1 - \left(\frac{2}{z-2}\right)^2 в ряд, оставляя главные члены, и получим разложение функции в ряд Лорана.

Таким образом, разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности z_0 = 2 можно получить, используя разложение косинуса и выражение для аргумента.