Формула Эйлера

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (пределы, производные, исследование функций)

Решим по порядку:

1. Формула Эйлера

Формула Эйлера для комплексных чисел:
e^{ix} = \cos x + i \sin x

2. Вычисление предела

Найдем предел:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{\arcsin 3x}{e^{2x} - 1}

Разложим функции в числителе и знаменателе в ряд Тейлора:

• \arcsin 3x \approx 3x при x \to 0
• e^{2x} - 1 \approx 2x при x \to 0

Тогда:
\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}

Ответ: \frac{3}{2}.

3. Механический смысл производной

Производная функции в точке x определяет скорость изменения функции, то есть мгновенную скорость движения, если функция описывает путь.

4. Найти производную

Дана функция:
y = \sqrt{x} \cdot \sin^2 (\sqrt{x})

Используем правило производной произведения:
(uv)' = u'v + uv'

• u = \sqrt{x} = x^{1/2}, тогда u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
• v = \sin^2(\sqrt{x}), тогда v' = 2\sin(\sqrt{x})\cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} (по правилу цепочки).

Подставляем:
y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin^2(\sqrt{x}) + \sqrt{x} \cdot \frac{\sin(2\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}

Упрощаем:
y' = \frac{\sin^2(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} + \frac{\sin(2\sqrt{x})}{2}

5. Достаточное условие убывания

Функция f(x) убывает на интервале, если ее производная f'(x) \leq 0 на этом интервале.

6. Найти f'(1)

Из условия известно, что f(x) имеет минимум в точке x = 1. Это означает, что f'(1) = 0.

Ответ: f'(1) = 0.

7. Исследование функции y = 4x - x^4

Исследуем функцию y = 4x - x^4:

1. Область определения: x \in \mathbb{R}.
2. Найдем производную:
   y' = 4 - 4x^3.
3. Найдем критические точки:
   4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1.
4. Вторую производную:
   y'' = -12x^2.
   Подставим x = 1:
   y''(1) = -12, значит, x = 1 — точка максимума.
5. Границы функции:
   • При x \to \pm\infty, y \to -\infty.
6. Построение графика:
   • Функция имеет максимум в x = 1.
   • Пересекает ось y в (0,0).

Вывод: Функция возрастает на (-\infty, 1) и убывает на (1, \infty). График имеет максимум в точке (1,3).