Двойные интегралы с заданной областью интегрирования

Это задание относится к разделу математического анализа, и в частности, к интегральному исчислению для функций нескольких переменных. Рассматриваются двойные интегралы с заданной областью интегрирования. Задание, которое нужно решить — 6.9 вариант. Дано выражение двойного интеграла: \[ \iint_{D}(xy + 2)dxdy, \] где область интегрирования \( D \) задается следующим образом: \[ D: 0 \leq x \leq 1, 1 \leq y \leq 2. \]

Шаг 1: Анализ области интегрирования

Значения переменных \( x \) и \( y \) меняются следующим образом:

• \( x \) изменяется от 0 до 1,
• \( y \) изменяется от 1 до 2.

Таким образом, область \( D \) — это прямоугольник в координатной плоскости \( xy \), где \( x \) от 0 до 1, и \( y \) от 1 до 2.

Шаг 2: Вычисление двойного интеграла

Мы вычисляем двойной интеграл по порядку: сначала интегрируем по \( x \), затем по \( y \). \[ \iint_{D}(xy + 2)dxdy = \int_{1}^{2}\left( \int_{0}^{1} (xy + 2) dx \right) dy \]

Внутренний интеграл по переменной \( x \):

Первое подынтегральное выражение: \[ \int_{0}^{1}xy dx = y \int_{0}^{1}x dx = y\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{y}{2} \]

Второе подынтегральное выражение: \[ \int_{0}^{1}2 dx = 2[x]_0^1 = 2. \]

Теперь складываем: \[ \int_{0}^{1}(xy + 2)dx = \frac{y}{2} + 2. \]

Внешний интеграл по переменной \( y \):

Теперь интегрируем полученное выражение по \( y \): \[ \int_{1}^{2} \left( \frac{y}{2} + 2 \right) dy. \]

Разбиваем на два интеграла: \[ \int_{1}^{2} \frac{y}{2} dy + \int_{1}^{2} 2 dy. \]

Первый интеграл: \[ \int_{1}^{2} \frac{y}{2} dy = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} y dy = \frac{1}{2} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1/2 \cdot 3/2} = \frac{3}{4}. \]

Второй интеграл: \[ \int_{1}^{2} 2 dy = 2 [y]_1^2 = 2(2 - 1) = 2. \]

Итог:

Теперь складываем результаты обоих интегралов: \[ \frac{3}{4} + 2 = \frac{3}{4} + \frac{8}{4} = \frac{11}{4}. \]

Ответ:

\[ \iint_{D}(xy + 2)dxdy = \frac{11}{4}. \]