Докажите, что существует бесконечно много простых чисел

Предмет и раздел

Предметом данного задания является теория чисел, один из разделов высшей математики. Задание связано с исследованием простых чисел и доказательствами их бесконечности для определенного вида.

Задание

Нам нужно доказать, что существует бесконечно много простых чисел вида \( 4n + 3 \), где \( n \in \mathbb{N} \) (натуральные числа).

Описание решения

1. Изучим форму чисел вида \( 4n + 3 \):
   • Каждое число в этой форме представимо как результат сложения кратного \( 4 \) и \( 3 \). То есть для \( n = 0 \) имеем \( 4 \times 0 + 3 = 3 \), для \( n = 1 \) имеем \( 4 \times 1 + 3 = 7 \), для \( n = 2 \): \( 4 \times 2 + 3 = 11 \) и так далее.
   • Многие из этих чисел просты: \( 3, 7, 11, 19, 23,... \).
2. Цель доказательства:
   • Нам нужно показать, что простых чисел вида \( 4n + 3 \) бесконечно много.
3. Доказательство от противного (методом Евклида):

Предположим, что простых чисел вида \( 4n + 3 \) конечное количество. Пусть их, например, \( k \), и они обозначаются через \( p_1, p_2, p_3, ..., p_k \).

• Рассмотрим новое число \( N \), построенное следующим образом: \[ N = 4(p_1 p_2 p_3 \dots p_k) + 3. \]
• Здесь произведение всех известных простых чисел вида \( 4n + 3 \) умножается на \( 4 \), а затем прибавляется \( 3 \), чтобы оно имело форму \( 4m + 3 \).
• Очевидно, что \( N \) делится на \( 4 \) с остатком \( 3 \), то есть \( N \) имеет ту же форму \( 4n + 3 \).
4. Проверка простоты числа \( N \):

   Теперь рассмотрим делимость числа \( N \). Ясно, что \( N \) не делится ни на одно из чисел \( p_1, p_2, ..., p_k \), так как при делении на любое из этих простых чисел остается остаток 3. Значит, у числа \( N \) либо есть другие простые делители, которые не входят в список \( p_1, p_2, ..., p_k \), либо это само по себе простое число.

5. Противоречие предположению:

   В любом случае, получается, что существует новое простое число вида \( 4n + 3 \), что противоречит нашему предположению о конечности множества таких простых чисел.

Вывод

Простых чисел вида \( 4n + 3 \) на самом деле бесконечно много.

Ответ

Существует бесконечно много простых чисел вида \( 4n + 3 \).