Доказать равномерную сходимость ряда

Предмет: Математический анализ

Раздел: Равномерная сходимость функциональных рядов

Дан числовой ряд:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{n^4 + x^4}, \quad x \in (-\infty, +\infty) 

Необходимо доказать его равномерную сходимость на всей числовой оси.

Шаг 1: Исследование поточечной сходимости

Рассмотрим общий член ряда:

 f_n(x) = \frac{nx}{n^4 + x^4} 

Асимптотический анализ показывает:

• При фиксированном ( x ) и больших ( n ), в знаменателе доминирует ( n^4 ), поэтому:

   f_n(x) \approx \frac{nx}{n^4} = \frac{x}{n^3} 

  Таким образом, ряд поточечно сходится к нулевой функции, так как ( \sum \frac{x}{n^3} ) сходится абсолютно.

Шаг 2: Проверка равномерной сходимости по критерию Вейерштрасса

Для равномерной сходимости найдем равномерную оценку для ( f_n(x) ).

Заметим, что:

 \left| f_n(x) \right| = \left| \frac{nx}{n^4 + x^4} \right| \leq \frac{|x| n}{n^4} = \frac{|x|}{n^3} 

Функция ( g_n(x) = \frac{|x|}{n^3} ) достигает своего максимума при ( |x| \to \infty ), но даже в этом случае:

 g_n(x) \leq \frac{M}{n^3} 

где ( M = \sup\limits_{x \in \mathbb{R}} |x| ) (для любого конечного отрезка ( x ) ограничено, а на всей оси можно рассматривать ( M = 1 ) для оценки).

Так как числовой ряд

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{M}{n^3} 

сходится, то по признаку Вейерштрасса (мажорируемый признак) данный функциональный ряд равномерно сходится на ( \mathbb{R} ).

Вывод:

Ряд

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{n^4 + x^4} 

равномерно сходится на всей числовой оси ( (-\infty, +\infty) ). ✅