Доказать равномерную сходимость используя Коши

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математический анализ
Раздел: Теория рядов, равномерная сходимость

Доказательство равномерной сходимости с использованием критерия Коши

Рассмотрим числовой ряд:

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{n^4 + x^4}, \quad x \in (-\infty, +\infty). 

Шаг 1: Формулировка критерия Коши для равномерной сходимости

Ряд \sum f_n(x) сходится равномерно на множестве E, если:

 \forall \varepsilon > 0 \quad \exists N \in \mathbb{N}, \quad \forall m, n \geq N, \quad \forall x \in E: \quad \left| \sum\limits_{k=n}^{m} f_k(x) \right| < \varepsilon. 

То есть, частичные суммы S_m(x) - S_n(x) должны стремиться к нулю равномерно по x.

Шаг 2: Оценка разности частичных сумм

Рассмотрим остаток ряда:

 \left| \sum\limits_{k=n}^{m} \frac{k x}{k^4 + x^4} \right|. 

Оценим общий член ряда:

 \left| \frac{k x}{k^4 + x^4} \right|. 

Заметим, что знаменатель всегда положителен, и рассмотрим два случая:

1. Если |x| \leq 1:
   В этом случае x^4 \leq 1, и можно оценить:

    k^4 + x^4 \geq k^4. 

   Тогда:

    \left| \frac{k x}{k^4 + x^4} \right| \leq \frac{|x| k}{k^4} = \frac{|x|}{k^3}. 

   Так как \sum \frac{1}{k^3} сходится абсолютно, то и ряд \sum f_n(x) сходится равномерно на этом множестве.

2. Если |x| > 1:
   В этом случае x^4 \geq 1, и можно оценить:

    k^4 + x^4 \geq x^4. 

   Тогда:

    \left| \frac{k x}{k^4 + x^4} \right| \leq \frac{k |x|}{x^4} = \frac{k}{x^3}. 

   Для больших x эта оценка убывает, а сам ряд сходится равномерно.

Шаг 3: Проверка критерия Коши

Так как остаток ряда можно оценить через сходящийся числовой ряд, то по критерию Коши ряд сходится равномерно на \mathbb{R}.

Вывод: Ряд

 \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{n^4 + x^4} 

сходится равномерно на всей числовой прямой \mathbb{R}.