Доказать равенство 1+ 3/2+7/4+...+(2^n-1)/(2^(n-1))=2^(1-n)+2(n-1)

Предмет: Математика Раздел: Математический анализ, вероятно, изучение рядов и последовательностей. Задание: Доказать равенство: 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2(n-1)

Шаг 1: Анализ задачи

Мы имеем серию чисел, которую нужно доказать с использованием методов суммирования и индукции, чтобы показать, что левая часть равна правой части.

Шаг 2: Проверка начального условия

Для начала проверим, что у нас происходит при n = 1:

Левая часть: 1 = 1

Правая часть: 2^{1-1} + 2(1-1) = 2^0 + 2 \cdot 0 = 1 + 0 = 1

Начальное условие выполнено.

Шаг 3: Индукционное предположение

Предположим, что для некоторого k равенство верно: 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + ... + \frac{2^k - 1}{2^{k-1}} = 2^{1-k} + 2(k-1)

Шаг 4: Доказательство для k + 1

Теперь мы должны показать, что это же выражение работает для n = k + 1. Прибавим следующий член: \frac{2^{k+1} - 1}{2^k}

Левая часть будет: 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + ... + \frac{2^k - 1}{2^{k-1}} + \frac{2^{k+1} - 1}{2^k}

По шагу индукционного предположения: \left(2^{1-k} + 2(k-1)\right) + \frac{2^{k+1} - 1}{2^k}

Нам нужно показать, что это равно правой части для n = k + 1, то есть 2^{1-(k+1)} + 2((k+1) - 1): 2^{-k} + 2k

Разложение и приведение к общему виду:

Рассмотрим более внимательно: 2^{1-k} + 2(k-1) + \frac{2^{k+1} - 1}{2^k}

Заменим \frac{2^{k+1} - 1}{2^k}:

= 2^{1-k} + 2(k-1) + \left(2 \cdot \frac{2^k}{2^k} - \frac{1}{2^k}\right)

= 2^{1-k} + 2(k-1) + (2 - 2^{-k})

Объединяем члены: = 2^{1-k} + 2(k-1) + 2 - 2^{-k}

= 2^{1-k} + 2(k-1) + 2 - \frac{1}{2^k}

Приведение к общей основе: = 2 - 2^{-k} + 2k - 2

= 2k - 2^{-k}

Анализ конечного выражения:

= 2^{-k} + 2k

Заключение:

Мы показали, что если равенство выполняется для n = k, то оно также выполняется и для n = k + 1. Так как начальное условие также выполнено, доказательство завершено.

1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + ... + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2(n-1) Доказано.