Доказать равенство

Предмет и Раздел

Этот вопрос относится к разделу высшей математики, а конкретно к математическому анализу. Мы будем рассматривать числа, последовательности и серии, а также доказательства равенств.

Примечание

Рассмотрим выражение, записанное в вопросе: \[ 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \cdots + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} \] и предложенное равенство: \[ 2^{1-n} + 2(n-1) \]

Доказательство

Проведём формальный анализ и постараемся доказать данное равенство. Попытаемся выразить сумму в аналитическом виде и проверить корректность данного нам выражения. Рассмотрим общий элемент последовательности: \[ \frac{2^k - 1}{2^{k-1}} \] на множестве \( k \) от 1 до \( n \).

Перепишем это в более удобной форме

Сначала упростим явное выражение каждого элемента: \[ \frac{2^k - 1}{2^{k-1}} = \frac{2 \cdot 2^{k-1} - 1}{2^{k-1}} = 2 - \frac{1}{2^{k-1}} \]

Сумма по \( k \)

Теперь суммируем это от 1 до \( n \): \[ \sum_{k=1}^{n} \left(2 - \frac{1}{2^{k-1}}\right) \] Раскроем эту сумму: \[ \sum_{k=1}^{n} 2 - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} \]

Разделим на две суммы

1. Первая часть: \[ \sum_{k=1}^{n} 2 = 2n \]

2. Вторая часть: \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} \] Эта сумма является конечной геометрической прогрессией. Рассчитаем её сумму: \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} = 2\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) = 2 - \frac{2}{2^n} \]

Подстановка этих сумм

Теперь соединим все результаты: \[ 2n - \left(2 - \frac{2}{2^n}\right) = 2n - 2 + \frac{2}{2^n} = 2(n - 1) + 2^{1-n} \]

Заключение

Мы получили: \[ 1 + \frac{3}{2} + \frac{7}{4} + \cdots + \frac{2^n - 1}{2^{n-1}} = 2^{1-n} + 2(n-1) \] Таким образом, мы доказали, что приведенное равенство верно.