Доказать предел функции при помощи определения Гейне

Данное задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ" или, конкретнее, "Пределы". В нем требуется доказать предел функции при помощи определения Гейне.

Определение предела по Гейне:

Предел функции \( f(x) \) при \( x \to a \) равен \( L \), если и только если для всякой последовательности \( \{x_n\} \), сходящейся к \( a \), функция \( f(x_n) \) сходится к \( L \):

\[ \lim_{{x \to a}} f(x) = L \iff \forall \{x_n\} \to a \Rightarrow \lim_{n \to \infty} f(x_n) = L \]

Решение:

a) Доказать, что:

\[ \lim_{{x \to 1}} \frac{5x^2 - 2x}{3x^2 + 2} = \frac{3}{5} \]

1. Рассмотрим любую последовательность \( \{ x_n \} \), такую что \( x_n \to 1 \).
2. Выразим \( f(x) = \frac{5x^2 - 2x}{3x^2 + 2} \).
3. Подставим \( x_n \) и найдем предел последовательности:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{5x_n^2 - 2x_n}{3x_n^2 + 2} \]

Так как \( x_n \to 1 \):

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{5(1)^2 - 2(1)}{3(1)^2 + 2} = \frac{5 - 2}{3 + 2} = \frac{3}{5} \]

Так как для любой последовательности \( \{x_n\} \), сходящейся к 1, предел этой последовательности равен \( \frac{3}{5} \), то по определению Гейне:

\[ \lim_{{x \to 1}} \frac{5x^2 - 2x}{3x^2 + 2} = \frac{3}{5} \]

b) Доказать, что:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{2x^3 - 3}{x + 1} = \frac{13}{3} \]

1. Рассмотрим любую последовательность \( \{ x_n \} \), такую что \( x_n \to 2 \).
2. Выразим \( f(x) = \frac{2x^3 - 3}{x + 1} \).
3. Подставим \( x_n \) и найдем предел последовательности:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{2x_n^3 - 3}{x_n + 1} \]

Так как \( x_n \to 2 \):

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{2(2)^3 - 3}{2 + 1} = \frac{2 \cdot 8 - 3}{3} = \frac{13}{3} \]

Таким образом, по определению Гейне:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{2x^3 - 3}{x + 1} = \frac{13/3} \]

c) Доказать, что:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{3x^3 + 2}{2x^2 + 1} = \frac{14}{9} \]

1. Рассмотрим любую последовательность \( \{ x_n \} \), такую что \( x_n \to 2 \).
2. Выразим \( f(x) = \frac{3x^3 + 2}{2x^2 + 1} \).
3. Подставим \( x_n \) и найдем предел последовательности:

\[ \lim_{{n \to \infty}} \frac{3x_n^3 + 2}{2x_n^2 + 1} \]

Так как \( x_n \to 2 \):

\[ \lim_{{n \to инфти}} \frac{3(2)^3 + 2}{2(2)^2 + 1} = \frac{3 \cdot 8 + 2}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{24 + 2}{8 + 1} = \frac{26}{9} \]

Но в задании стоит результат \( \frac{14}{9} \), и это явно ошибочно. Правильное решение:

\[ \lim_{{x \to 2}} \frac{3x^3 + 2}{2x^2 + 1} = \frac{26}{9} \]

Таким образом, мы неправильно переписали задание или результат в самом задании содержит опечатку.

P.S: Ввиду несоответствия задачи в части c) и предоставленного результата, точность последнего решения не обеспечивается, и очевидно, что верное значение должно быть \( \frac{26}{9} \).