Доказать ограниченность последовательности a=(n)/(n+1)+sin n

Конечно! Давайте разберём эту задачу шаг за шагом.

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (работа с последовательностями и пределами)

Задача

Доказать ограниченность последовательности: \[ a_n = \frac{n}{n+1} + \sin n \]

Шаг 1: Исследуем первую часть последовательности

Рассмотрим сначала часть \(\frac{n}{n+1}\): \[ \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} \]

Заметим, что \(\frac{1}{n+1}\) убывает с ростом \(n\) и стремится к 0 при \(n \to \infty\). Следовательно, \[ 1 - \frac{1}{n+1} \] стремится к 1, но никогда не достигает этого значения.

Таким образом, \[ 0 < \frac{n}{n+1} < 1 \] для всех \(n \geq 1\).

Шаг 2: Исследуем вторую часть последовательности

Теперь рассмотрим часть \(\sin n\): Функция \(\sin n\) ограничена, так как \(\sin n\) всегда находится в пределах от -1 до 1: \[ -1 \leq \sin n \leq 1 \]

Шаг 3: Исследуем всю последовательность

Теперь объединим обе части: \[ a_n = \frac{n}{n+1} + \sin n \]

Из известных фактов:

1. \(\frac{n}{n+1}\) лежит в интервале \((0, 1)\)
2. \(\sin n\) лежит в интервале \([-1, 1)\)

Таким образом, \[ 0 < \frac{n}{n+1} < 1 \] и \[ -1 \leq \sin n \leq 1 \]

Шаг 4: Оценим сумму

Добавим эти оценки:

1. Наименьшее значение последовательности \(a_n\) будет, когда \(\frac{n}{n+1}\) близко к 0 и \(\sin n\) близко к -1: \[ a_n \geq 0 + (-1) = -1 \]
2. Наибольшее значение последовательности \(a_n\) будет, когда \(\frac{n}{n+1}\) близко к 1 и \(\sin n\) близко к 1: \[ a_n \leq 1 + 1 = 2 \]

Заключение

Таким образом: \[ -1 \leq \frac{n}{n+1} + \sin n \leq 2 \] Что подтверждает, что последовательность \(a_n\) ограничена. Мы показали, что \[ -1 \leq a_n \leq 2 \]

Ответ

Последовательность \(a_n = \frac{n}{n+1} + \sin n\) ограничена и находится в пределах от -1 до 2.