Доказать ограниченность последовательности

Определение предмета и раздела:

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (исследование числовых последовательностей)

Цель: Доказать ограниченность заданных последовательностей (x_n).

Решение:

a) x_n = \frac{2n^2 - 1}{2 + n^2}

Мы рассмотрим предел данной последовательности, когда n \to \infty:

\lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 - 1}{2 + n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n^2} + 1} = \frac{2}{1} = 2

Теперь проверим поведение последовательности для малых значений n:

Для n = 1: x_1 = \frac{2\cdot1^2 - 1}{2 + 1^2} = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}

Для n = 2: x_2 = \frac{2\cdot2^2 - 1}{2 + 2^2} = \frac{8 - 1}{2 + 4} = \frac{7}{6}

Таким образом, x_n ограничена снизу и сверху, и принимает значения от \frac{1}{3} (для n = 1) до значения, все ближе приближающегося к 2. Следовательно, последовательность \left( \frac{2n^2 - 1}{2 + n^2} \right) ограничена.

б) x_n = \frac{\ln^2(n) + 10}{2 + \ln^2(n)}

Исследуем предел:

\lim_{n \to \infty} \frac{\ln^2(n) + 10}{2 + \ln^2(n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{10}{\ln^2(n)}}{\frac{2}{\ln^2(n)} + 1} = \frac{1}{1} = 1

Для малых n, например, n = 2:

x_2 = \frac{\ln^2(2) + 10}{2 + \ln^2(2)}

Здесь \ln(2) \approx 0.693, поэтому:

x_2 \approx \frac{0.4 + 10}{2 + 0.4} = \frac{10.4}{2.4} \approx 4.33

Последовательность изменяется между значениями для малого n и стремится к 1 для больших n. Следовательно, последовательность ограничена.

в) x_n = \frac{(-1)^n n + 10}{\sqrt{n^2} + 1}

Заметим, что \sqrt{n^2} = n. Тогда,

x_n = \frac{(-1)^n n + 10}{n + 1}

Предел последовательности для n \to \infty:

\lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^n n + 10}{n + 1}.

Проверим значения для n \to \infty:

- Для четных n:

x_{2k} = \frac{10}{2k + 1} \approx 0

- Для нечетных n:

x_{2k+1} = \frac{-2k - 1 + 10}{2k + 1} \approx -1

Отсюда видно, что последовательность колеблется и стремится к границам [ -1, 1 ], но остается ограниченной.

г) x_n = \frac{1 - n}{\sqrt{n^2 + 1}}

Применим эквивалентность \sqrt{n^2 + 1} \approx n:

x_n = \frac{1 - n}{\sqrt{n^2 + 1}} \approx \frac{1}{n} - 1

При n \to \infty, \frac{1}{n} \to 0, тогда:

\lim_{n \to \infty} x_n = -1

Для малых n, например, n = 1:

x_1 = \frac{1 - 1}{\sqrt{1 + 1}} = 0

Последовательность имеет значение между -1 и 0, поэтому ограничена.

д) x_n = \frac{5^{2n+1} + 2^n}{1 - 25^n}

Для n \to \infty, 5^{2n+1} и 25^n = 5^{2n} растут значительно быстрее, чем 2^n.

\lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{2n+1} + 2^n}{1 - 25^n}

При \infty, знаменатель станет крайне большим по модулю (-25^n).