Доказать неравенство/тождество.

Пример 1:

Доказать неравенство:

Решение от преподавателя:

1. Проверим неравенсто при n = 2:
   
   
2. Проверим истинность выражения для n=n+1:
   
   

    Заменим выражение:

   так как из п.1 следует, что то только остается доказать

Так как 

Из этого следует, что неравенство

Будет верно для .

Что и требовалось доказать.

Пример 2:

Доказать неравенство 

Решение от преподавателя:

Запишем исходное выражение для n=n+1

Если выполняется изначальное неравенство (2),то (4) будет тем более верно т.к.

Проверим неравенство для n=3:

9 > 7

Из этого следует ,что неравенство будет верно при

Пример 3:

Доказать,что

Решение от преподавателя:

Так как число n натуральное, мы можем разделить на nⁿ.  В результате получим:

Используя формулу бинома Ньютона преобразуем правую часть:

Усилим неравенство, замнив скобки в правой части на единицы:

Снова усилим неравенство, заменив 3, 4, 5... стоящие в знаменателе на 2-ки:

Найдем сумму в правой скобке, используя формулу суммы членов геометрической прогрессии:

В результате мы получаем:

По условию , а следовательно мы доказали неравенство равносильное исходному.

Пример 4:

Докажите, что для любого натурального числа n истинно равенство:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Доказать,что для любого n, при  x ≥ -1 будет верно равенство:

 

Решение от преподавателя:

Проверим неравенство для n = 1:

Докажем неравенство при помощи метода математической индукции, заменив n на n+1:

По условию, x ≥ -1, значит

Из условия получаем:

а следовательно мы доказали неравенство равносильное исходному.

Пример 6:

Доказать,что

Решение от преподавателя:

Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии:

Получим

Перепишем тождество:

Проверяем для базы индукции:

1 = 1.

Проверим верность для n+1:

Тождество доказано.

По условию , а следовательно мы доказали неравенство равносильное исходному.

Пример 7:

Доказать,что

Решение от преподавателя:

Используем метод математической индукции.

1) n = 1:

2) n = n + 1:

Доказано.

Пример 8:

Доказать неравенство:

Решение от преподавателя:

Подставим в исходное неравенство n = n+1

Проверим n = 3:

Из этого следует, что будет верно при 

 

 

Пример 9:

Доказать, что выражение делится на 11:

Решение от преподавателя:

Проверим для n = 1:

По методу математической индукции, для n = n + 1:

Первое и второе слагаемое делится на 11, следовательно, все число делится на 11.

 

Пример 10:

Доказать, что

Решение от преподавателя:

Пример 11:

Доказать, что 

крано 6.

Решение от преподавателя:

Таким образом по методу математической индукции утверждение доказано.

Пример 12:

Доказать тождество:

Решение от преподавателя:

Тождество не верно для n = 1, следовательно и для n = n + 1, так же не верно. Докажем это:

Сделаем замену:

на конечный результат -1/2.

Так как последнее равенство равно нулю, то оно выполняется только для n = 0 или n = -1. А так как эти числа не являются натуральными - равенство неверно для всех натуральных n.

Пример 13:

Доказать равенство:

Решение от преподавателя:

Проверим для n = 1:

По методу математическй индукции n = n + 1:

Подставим:

Равенство доказано.

Пример 14:

Доказать, что

Решение от преподавателя: