Доказать неравенство, которое является вариацией неравенства Коши – Буняковского для сумм

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Теория неравенств".

Вам нужно доказать неравенство, которое является вариацией неравенства Коши – Буняковского для сумм.

Доказательство: Мы будем использовать неравенство Коши – Буняковского, которое в общем виде выглядит следующим образом: \[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \right) \]

Мы применим это неравенство к последовательностям \( \left( \frac{a_1}{\sqrt{b_1}}, \frac{a_2}{\sqrt{b_2}}, \ldots, \frac{a_n}{\sqrt{b_n}} \right) \) и \( \left( \sqrt{b_1}, \sqrt{b_2}, \ldots, \sqrt{b_n} \right) \).

Сначала запишем левую и правую части неравенства Коши – Буняковского для наших последовательностей:

Левая часть: \[ \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} \cdot \sqrt{b_i} \right)^2 = \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 \]

Правая часть: \[ \left( \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{a_i}{\sqrt{b_i}} \right)^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i \right) = \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2}{b_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i \right) \]

Теперь неравенство Коши – Буняковского принимает вид: \[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2}{b_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{n} b_i \right) \]

Делим обе стороны неравенства на \(\sum_{i=1}^{n} b_i\): \[ \frac{\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2}{\sum_{i=1}^{n} b_i} \leq \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2}{b_i} \]

Переставляя левые и правые части, получаем: \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i^2}{b_i} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \cdots + b_n} \]

Таким образом, неравенство доказано.