Доказать неравенства для частичной суммы гармонического ряда со степенным выряжением

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (или Теория чисел)

Тема: Монотонность последовательностей и пределы, Ряды

Задание состоит в доказывании неравенства для частичной суммы гармонического ряда со степенным выряжением. Нам нужно показать, что: \[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{3}{4} \] для некоторого числа членов \(n\) в сумме.

Рассмотрим процесс доказательства.

Шаг 1. Формулировка задачи

Нам необходимо доказать, что сумма ряда: \[ S_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \] меньше, чем \(\frac{3}{4}\), где \(S_n\) обозначает частичную сумму от \(k = 2\) до \(k = n\).

Шаг 2. Оценка суммы

Известно, что бесконечная сумма ряда вида \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\) сходится к числу: \[ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493 \] Следовательно, сумма от \(k=2\) до \(k=\infty\) равна: \[ \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \zeta(2) - 1 \approx 1.64493 - 1 = 0.64493 \]

Шаг 3. Доказательство

Рассмотрим суммы для небольших \(n\), чтобы оценить, насколько они приближаются к \(\frac{3}{4} = 0.75\):

• Для \(n = 2\): \[ S_2 = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25 \]
• Для \(n = 3\): \[ S_3 = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{9}{36} + \frac{4}{36} = \frac{13}{36} \approx 0.3611 \]
• Для \(n = 5\): \[ S_5 = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} \] \[ S_5 = 0.25 + 0.1111 + 0.0625 + 0.04 \approx 0.4636 \]
• Для \(n = 10\): \[ S_{10} = 0.25 + 0.1111 + 0.0625 + 0.04 + 0.0278 + 0.02 + 0.0156 + 0.0123 + 0.01 \approx 0.5493 \]

Шаг 4. Окончательный вывод

Так как бесконечная сумма сходится к значению меньше, чем \(\frac{3}{4}\), и все частичные суммы меньше \(\frac{3}{4}\), мы можем заключить, что: \[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{3}{4} \] для любого конечного \(n\).

Таким образом, частичные суммы явно меньше \(\frac{3}{4} \approx 0.75\), даже для достаточно больших значений \(n\).