Доказать непериодичность функции

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, теория функций (периодичность функций)

Задание:
Доказать непериодичность функции
f(x) = \cos(x) \cdot \cos(\sqrt{2}x)

Шаг 1: Определение периодичности

Функция f(x) называется периодической, если существует такое число T > 0, что для всех x из области определения выполняется:

f(x + T) = f(x)

Минимальное положительное значение такого T называется периодом функции.

Шаг 2: Анализ функции

Рассмотрим функцию:

f(x) = \cos(x) \cdot \cos(\sqrt{2}x)

Это произведение двух косинусов:

• \cos(x) — периодическая функция с периодом 2\pi
• \cos(\sqrt{2}x) — периодическая функция с периодом \frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi

Шаг 3: Проверим, может ли произведение быть периодическим

Предположим, что функция f(x) периодическая. Тогда существует число T > 0, такое что:

\cos(x + T) \cdot \cos(\sqrt{2}(x + T)) = \cos(x) \cdot \cos(\sqrt{2}x) для всех x.

Пусть T — период функции f(x). Тогда T должен быть одновременно периодом обеих функций:

• \cos(x) (период 2\pi)
• \cos(\sqrt{2}x) (период \frac{2\pi}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\pi)

То есть T должен быть общим кратным этих двух периодов.

Шаг 4: Проверим существование общего периода

Общие кратные чисел 2\pi и \sqrt{2}\pi существуют только если их отношение — рациональное число.

Рассчитаем:

\frac{2\pi}{\sqrt{2}\pi} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}

Но \sqrt{2} — иррациональное число, значит, числа 2\pi и \sqrt{2}\pi не имеют общего кратного.

Следовательно, не существует числа T, которое было бы общим периодом для обеих функций.

Шаг 5: Вывод

Так как множители \cos(x) и \cos(\sqrt{2}x) не имеют общего периода, то их произведение также не является периодической функцией.

Ответ:

Функция f(x) = \cos(x) \cdot \cos(\sqrt{2}x) не является периодической, так как периоды её множителей 2\pi и \sqrt{2}\pi несоизмеримы (их отношение — иррациональное число), а значит, не существует общего периода.