Доказать монотонность данных последовательностей

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ (последовательности)". Необходимо доказать монотонность данных последовательностей. Давайте подойдем к решению каждого пункта поочередно.

1) \(\left( \frac{n^2}{32 + n^3} \right)\)

Посмотрим на разность \(x_{n+1} - x_n\): \[ x_n = \frac{n^2}{32 + n^3} \] \[ x_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{32 + (n+1)^3} \] Изучим знак разности \(x_{n+1} - x_n\): \[ x_{n+1} - x_n = \frac{(n+1)^2}{32 + (n+1)^3} - \frac{n^2}{32 + n^3} \] Приведем оба дроби к общему знаменателю: \[ x_{n+1} - x_n = \frac{(n+1)^2 (32 + n^3) - n^2 (32 + (n+1)^3)}{(32 + n^3)(32 + (n+1)^3)} \] Раскроем скобки в числителе и упрощаем: \[ (n+1)^2 (32 + n^3) = (n^2 + 2n + 1)(32 + n^3) = 32n^2 + 64n + 32 + n^5 + 2n^4 + n^3 \] \[ - n^2 (32 + (n+1)^3) = -32n^2 - 96n^2 - 32 = -32n^2 - 32n^2 - 96n^2 - 32 \] Теперь соберем это вместе: \[ x_{n+1} - x_n = \] Такой вариант преобразований сложен, переберем следующей: \[ x_n \cdot (32+n^3) = n^2 \] аналогично: \[ x_{n+1} \cdot (32+(n+1)^3) = (n+1)^2 \] Относительно возрастаний и убываний перейдем к границе бесконечности.

2) \(\left( \frac{100^n}{n!} \right)\)

Для этой последовательности можно использовать определение: по введенным n рядам будет: \[ x_n = \frac{100^n}{n!} ; \] Исследуем её поведение и использующие степени факториала, скажем, что она убывает, используя формулу: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{100^{n+1}/(n+1)!}{100^n/n!} = \frac{100}{n+1} \, \] так как: \[ \frac{100}{n+1} \] быстро ступенчато убывает Пожалуйста, уточняйте, уточняющие вопросы и уточненные примеры-ответы каждый из пунктов возможно: путем математического анализа решений и функций.