Доказать, что уравнение имеет одно решение

Это задание по предмету "дифференциальные уравнения", которое относится к разделу "обыкновенные дифференциальные уравнения" (ОДУ).

Нужно доказать, что данное уравнение имеет одно решение. Рассмотрим задачу: \[ y'(t) = \sqrt[3]{2023|y|}, \quad y(0) = 0. \]

Для доказательства единственности решения воспользуемся теоремой Пикара-Линделёфа (теоретически известной как \(\)теорема о существовании и единственности решения\(\) для ОДУ). Эта теорема утверждает, что если функция \( f(t, y) \) и её частная производная по \( y \), \( \frac{\partial f}{\partial y} \), непрерывны на некотором прямоугольнике в плоскости \( (t, y) \), который содержит начальную точку, то начальная задача имеет единственное решение на некотором интервале, содержащем начальный момент времени.

Функция \( f(t, y) = \sqrt[3]{2023|y|} \).

Проверим условия теоремы Пикара-Линделёфа:

1. Непрерывность функции \( f(t, y) \) в окрестности точки \( (0, 0) \): Функция \( \sqrt[3]{2023|y|} \) не зависит явно от \( t \), и она непрерывна по \( y \) для всех значений \( y \), поскольку кубический корень и абсолютное значение - непрерывные функции. Следовательно, \( f(t, y) \) непрерывна в точке \( (0, 0) \).
2. Непрерывность частной производной \( \frac{\partial f}{\partial y} \) в окрестности точки \( (0, 0) \): Найдём частную производную по \( y \):

   \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt[3]{2023|y|} \right). \]

   Для этого упростим выражение: \( \sqrt[3]{2023|y|} = (2023|y|)^{1/3} \). Тогда:

   \[ \frac{\partial}{\partial y} \left( (2023|y|)^{1/3} \right) = \frac{1}{3} \cdot (2023|y|)^{-2/3} \cdot 2023 \cdot \frac{d|y|}{dy}. \]

   С учётом производной \( \frac{d|y|}{dy} = \text{sgn}(y) \) (где \( \text{sgn}(y) \) - знак числа \( y \)):

   \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2023}{3} \cdot (2023|y|)^{-2/3} \cdot \text{sgn}(y). \]

   В окрестности точки \( (0, 0) \) функция \( \frac{\partial f}{\partial y} \) не разрывна для \( y \neq 0 \). А при \( y = 0 \) она также определена, так как \( \text{sgn}(0) = 0 \). Таким образом, и функция \( f(t, y) \), и её частная производная \( \frac{\partial f}{\partial y} \) непрерывны в окрестности точки \( (0, 0) \).

   Следовательно, по теореме Пикара-Линделёфа дана начальная задача имеет единственное решение в окрестности начальной точки \( (0, 0) \).

   Таким образом, доказано, что дифференциальное уравнение \( y'(t) = \sqrt[3]{2023|y|} \) имеет единственное решение при начальном условии \( y(0) =0 \).