Доказать, что сумма (разность) двух ограниченных функций есть функция ограниченная.

Этот вопрос относится к предмету математического анализа, а точнее к разделу, связанному с понятием ограниченных функций и операциями с ними.

Рассмотрим две функции \( f(x) \) и \( g(x) \), которые являются ограниченными на некотором множестве \( D \). Это означает, что существуют такие постоянные \( M_f \) и \( M_g \), что для всех \( x \in D \):

\[ |f(x)| \leq M_f \]
\[ |g(x)| \leq M_g \]

Теперь нужно доказать, что функция \( h(x) = f(x) + g(x) \) ограничена, а также что функция \( k(x) = f(x) - g(x) \) ограничена.

Доказательство для суммы (ограниченной функции):

1. Ограниченность \( f(x) \) и \( g(x) \): Поскольку \( f(x) \) ограничена, существует константа \( M_f \), такая что \( |f(x)| \leq M_f \) для всех \( x \in D \). Поскольку \( g(x) \) ограничена, существует константа \( M_g \), такая что \( |g(x)| \leq M_g \) для всех \( x \in D \).
2. Суммирование модуля функции: Рассмотрим модуль суммы \( h(x) = f(x) + g(x) \):
   \[ |h(x)| = |f(x) + g(x)| \]
3. Неравенство треугольника: Применим неравенство треугольника к модулю суммы:
   \[ |f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \]
4. Подстановка известных ограничений: Подставим в правую часть известные ограничения для \( f(x) \) и \( g(x) \):
   \[ |f(x)| + |g(x)| \leq M_f + M_g \]
5. Вывод для \( h(x) \): Значит, для всех \( x \in D \):
   \[ |h(x)| \leq M_f + M_g \]

Доказательство для разности (ограниченной функции):

1. Разность функции: Рассмотрим модуль разности \( k(x) = f(x) - g(x) \):
   \[ |k(x)| = |f(x) - g(x)| \]
2. Неравенство треугольника: Применим неравенство треугольника ко выражению:
   \[ |f(x) - g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)| \]
3. Подстановка известных ограничений: Подставим в правую часть известные ограничения для \( f(x) \) и \( g(x) \):
   \[ |f(x)| + |g(x)| \leq M_f + M_g \]
4. Вывод для \( k(x) \): Значит, для всех \( x \in D \):
   \[ |k(x)| \leq M_f + M_g \]

Заключение:

Мы доказали, что если \( f(x) \) и \( g(x) \) ограничены на множестве \( D \), то и их сумма \( f(x) + g(x) \) и разность \( f(x) - g(x) \) также являются ограниченными на этом множестве.