Доказать, что сумма квадратов чисел, деленных на их суммы, больше либо равна суммы самих чисел, деленных на те же суммы

Задание на снимке относится к предмету "Математика", раздел "Неравенства" или "Алгебра".

В приведенном неравенстве нужно доказать, что сумма квадратов чисел, деленных на их суммы, больше либо равна суммы самих чисел, деленных на те же суммы. Вот примерное неравенство, которое дано на листке: \[ \frac{a_1^2}{b_1} + \frac{a_2^2}{b_2} + \ldots + \frac{a_n^2}{b_n} \geq \frac{(a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2}{b_1 + b_2 + \ldots + b_n} \] Это неравенство можно доказать с помощью метода математической индукции или с использованием неравенства Коши-Буняковского.

Доказательство с использованием неравенства Коши-Буняковского:

1. Рассмотрим последовательности \( a_1, a_2, \ldots, a_n \) и \( \sqrt{b_1}, \sqrt{b_2}, \ldots, \sqrt{b_n} \).
2. Применим неравенство Коши-Буняковского: \[ \left( a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \right) \left( b_1 + b_2 + \ldots + b_n \right) \geq \left( a_1\sqrt{b_1} + a_2\sqrt{b_2} + \ldots + a_n\sqrt{b_n} \right)^2 \]
3. Делим обе части неравенства на \((b_1 + b_2 + \ldots + b_n)\): \[ a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 \geq \frac{\left( a_1\sqrt{b_1} + a_2\sqrt{b_2} + \ldots + a_n\sqrt{b_n} \right)^2}{b_1 + b_2 + \ldots + b_n} \]
4. Поскольку для любых чисел \( x \) и \( y \) верно \( (x + y)^2 \geq x^2 + y^2 \), то неравенство сохраняется при взятии суммы квадратов.

Итак, неравенство доказано.