Доказать, что ряд сходится абсолютно

Определение предмета и раздела: Данное задание относится к предмету "математика" и конкретно к разделу "математический анализ", так как включают исследование сходимости рядов.

Решение:

Для того чтобы доказать абсолютную сходимость ряда, необходимо показать, что ряд, состоящий из модулей членов исходного ряда, является сходящимся.

Итак, рассмотрим ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n)}{(n!)^2} \]

Для доказательства абсолютной сходимости сначала найдем модуль общего члена ряда: \[ \left| \frac{\cos(2n)}{(n!)^2} \right| = \frac{|\cos(2n)|}{(n!)^2} \]

Известно, что значение \(\cos(2n)\) всегда лежит в пределах от -1 до 1. Поэтому \[ |\cos(2n)| \leq 1 \]

Следовательно, \[ \left| \frac{\cos(2n)}{(n!)^2} \right| \leq \frac{1}{(n!)^2} \]

Теперь рассмотрим ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n!)^2} \]

Этот ряд является важным показателем, так как он служит контрольным рядом для нашего исходного ряда. Рассмотрим сходимость ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n!)^2}\):

Для этого можем использовать признак сравнения. Известно, что ряд Тейлора для экспоненциальной функции \( e^x \) имеет вид: \[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \]

При \( x=1 \): \[ e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \]

Это сходящийся ряд. Мы знаем, что факториал растет очень быстро, и квадрат факториала растет еще быстрее, чем просто факториал, что гарантирует, что \(\frac{1}{(n!)^2}\) убывает быстрее, чем \(\frac{1}{n!}\).

Применяя признак сравнения, мы можем утверждать, что ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n!)^2}\) сходится. Так как ряд \(\sum_{n=1}^\infty \left| \frac{\cos(2n)}{(n!)^2} \right|\) меньше, чем ряд \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(n!)^2}\), то этот ряд также сходится.

Следовательно, исходный ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(2n)}{(n!)^2} \] сходится абсолютно.