Доказать, что при любом n принадлежащим выполняется равенство

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ и ряды

Задание: Доказать, что для любого натурального \(n\) выполняется следующее равенство: \[\left(1 - \frac{4}{1}\right)\left(1 - \frac{4}{9}\right)\left(1 - \frac{4}{25}\right) \cdots \left(1 - \frac{4}{(2n - 1)^2}\right) = \frac{1 + 2n}{1 - 2n}\]

Решение:

Запишем выражение более понятно: \[P = \prod_{k=1}^{n} \left(1 - \frac{4}{(2k-1)^2}\right)\] где индекс \(k\) идет от 1 до \(n\).

Начнем разбирать каждое выражение: \[1 - \frac{4}{(2k - 1)^2}\]

Приведем его к единому знаменателю: \[1 - \frac{4}{(2k - 1)^2} = \frac{(2k - 1)^2 - 4}{(2k - 1)^2}\]

Преобразуем числитель: \[(2k - 1)^2 - 4 = 4k^2 - 4k + 1 - 4 = 4k^2 - 4k - 3\]

Таким образом: \[\frac{(2k - 1)^2 - 4}{(2k - 1)^2} = \frac{4k^2 - 4k - 3}{(2k - 1)^2}\]