Доказать, что последовательность функций f_n(x) = x^n сходится равномерно к нулю на промежутке [0,1]

Данный вопрос относится к предмету математический анализ, раздел равномерная сходимость функциональных последовательностей.

Задание: Доказать, что последовательность функций \( f_n(x) = x^n \) сходится равномерно к нулю на промежутке [0,1].

Подробное решение:

1. Постановка проблемы: Нам нужно доказать, что последовательность \(f_n(x) = x^n\) сходится к функции \( f(x) = 0 \) равномерно на интервале [0,1]. Это означает, что для любой \(\epsilon > 0\) мы должны найти такое \( N \), что для всех \( n > N \) и \( x \in [0,1] \), выполняется условие: \[ |f_n(x) - f(x)| < \epsilon, \] то есть \[ |x^n - 0| = x^n < \epsilon. \]
2. Анализ зависимости от \( x \): Рассмотрим поведение функции \( f_n(x) = x^n \) для \( x \in [0, 1] \):
   • Если \( x = 0 \), то \( f_n(0) = 0 \) для любого \( n \), то есть сходится к нулю.
   • Если \( x = 1 \), то \( f_n(1) = 1 \) для любого \( n \), то последовательность не меняется и равна 1.
   • Для \( x \in (0,1) \), по мере увеличения \( n \), значение \( x^n \) стремится к 0, поскольку \( 0 < x < 1 \).
3. Оценка равномерной сходимости: Чтобы доказать равномерную сходимость, нужно понять, что происходит в наихудшем случае, то есть при максимальных возможных значениях \( x^n \) на интервале [0,1). Для этого рассмотрим следующее: \[ \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - 0| = \sup_{x \in [0,1]} x^n. \] Супремум будет достигаться при \( x = 1-\frac{1}{n} \), потому что чем ближе \( x \) к 1, тем медленнее \( x^n \) стремится к нулю.
4. Необходимая оценка: Мы хотим для большого \( n \) сделать так, чтобы при любом \( x \in [0, 1] \), функция \( x^n \) была меньше произвольно малой величины \(\epsilon\). Заметим, что для всех \( x \in [0, 1-\delta] \) (где \( \delta > 0 \)), при большом \( n \) значения \( x^n \) будут меньше \(\epsilon\), поскольку \( x^n \to 0 \) при \( n \to \infty \). Для выборки \( x = 1-\frac{1}{n} \) следует построить неравенство: \[ 1^n < \epsilon, \] что