Условие:
Доказать, что основной период функции:
а) sin(x) равен 2π ; в) tg(x) равенπ ; б) cos(x) равен 2π ; г) ctg(x) равен π .
Решение:
Это задание относится к предмету "математика", а конкретно к разделу "тригонометрия". Здесь нас просят доказать, что основные (минимальные положительные) периоды для стандартных тригонометрических функций синуса, тангенса, косинуса и котангенса являются определенными значениями.
Обозначим, что же такое основной период функции
Основной период функции \( f(x) \) — это наименьшее положительное число \( T \), для которого выполняется условие:
\[ f(x + T) = f(x) \]
Доказательство:
а) Период функции \( \sin(x) \)
1. Определение: \( \sin(x + T) = \sin(x) \).
2. Мы знаем, что синус повторяет свои значения через каждые \( 2\pi \).
3. Формула синуса: \( \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \).
4. Проверим наименьшее положительное число \( T \): \[ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \]
5. Таким образом, основной период \( \sin(x) \) равен \( 2\pi \).
б) Период функции \( \cos(x) \)
1. Определение: \( \cos(x + T) = \cos(x) \).
2. Мы знаем, что косинус, аналогично синусу, повторяет свои значения через каждые \( 2\pi \).
3. Формула косинуса: \( \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \).
4. Проверим наименьшее положительное число \( T \): \[ \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \]
5. Таким образом, основной период \( \cos(x) \) равен \( 2\pi \).
в) Период функции \( \tg(x) \)
1. Определение: \( \tg(x + T) = \tg(x) \).
2. Формула тангенса: \( \tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \).
3. Мы знаем, что \( \sin(x) \) и \( \cos(x) \) обладают основными периодами \( 2\pi \), однако при рассмотрении \( \tg(x) \), видим, что: \[ \tg(x + \pi) = \frac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} = \frac{-\sin(x)}{-\cos(x)} = \tg(x) \] здесь \( \sin(x + \pi) = -\sin(x) \) и \( \cos(x + \pi) = -\cos(x) \).
4. Проверим наименьшее положительное число \( T \): \[ \tg(x + \pi) = \tg(x) \]
5. Таким образом, основной период \( \tg(x) \) равен \( \pi \).
г) Период функции \( \ctg(x) \)
1. Определение: \( \ctg(x + T) = \ctg(x) \).
2. Формула котангенса: \( \ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \).
3. Похожие рассуждения, как и в случае с тангенсом: \[ \ctg(x + \pi) = \frac{\cos(x + \pi)}{\sin(x + \pi)} = \frac{-\cos(x)}{-\sin(x)} = \ctg(x) \] здесь \(\cos(x + \pi) = -\cos(x) \) и \( \sin(x + \pi) = -\sin(x) \).
4. Проверим наименьшее положительное число \( T \): \[ \ctg(x + \pi) = \ctg(x) \]
5. Таким образом, основной период \( \ctg(x) \) равен \( \pi \).
Вывод:
- \( \sin(x) \) имеет основной период \( 2\pi \)
- \( \cos(x) \) имеет основной период \( 2\pi \)
- \( \tg(x) \) имеет основной период \( \pi \)
- \( \ctg(x) \) имеет основной период \( \pi \)
Все утверждения задания доказаны.