Доказать, что функция имеет порядок

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Асимптотический анализ, пределы функций)

Задание:

Доказать, что при [x \to a], где [a = +\infty],

 \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} = O\left(\frac{1}{x}\right) 

Решение:

Нам нужно доказать, что функция

 f(x) = \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} 

имеет порядок [O\left(\frac{1}{x}\right)] при [x \to +\infty].

То есть, по определению "большого O", нужно показать, что существует константа [C > 0] и [x_0], такие что для всех [x > x_0]:

 \left| \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} \right| \leq \frac{C}{x} 

Шаг 1: Упростим выражение

Рассмотрим поведение функции при [x \to +\infty]:

 f(x) = \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} = \frac{x(7 + \frac{5}{x})}{1 - 4x^2} 

Теперь выразим знаменатель через [x^2]:

 f(x) = \frac{x(7 + \frac{5}{x})}{-4x^2(1 - \frac{1}{4x^2})} = \frac{7 + \frac{5}{x}}{-4x(1 - \frac{1}{4x^2})} 

При [x \to +\infty], [\frac{5}{x} \to 0] и [\frac{1}{4x^2} \to 0], поэтому:

 f(x) \sim \frac{7}{-4x} 

То есть, функция асимптотически эквивалентна [-\frac{7}{4x}], а значит:

 f(x) = O\left(\frac{1}{x}\right) 

Шаг 2: Строгое доказательство через неравенство

Рассмотрим:

 \left| \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} \right| = \frac{7x + 5}{4x^2 - 1} 

Для [x > 1] знаменатель положителен, и:

 7x + 5 \leq 7x + 5x = 12x 

(для [x > 1], [5 < 5x])

Также:

 4x^2 - 1 > 4x^2 - x^2 = 3x^2 

Тогда:

 \left| \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} \right| = \frac{7x + 5}{4x^2 - 1} < \frac{12x}{3x^2} = \frac{4}{x} 

Значит, для [x > 1]:

 \left| \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} \right| < \frac{4}{x} 

Следовательно, по определению:

 \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} = O\left(\frac{1}{x}\right), \quad x \to +\infty 

Ответ:

 \boxed{ \frac{7x + 5}{1 - 4x^2} = O\left(\frac{1}{x}\right), \quad x \to +\infty }  ✅ Доказано.