Доказать что число является собственным

Это задание относится к высшей алгебре, а точнее к разделу линейной алгебры, связанное с собственными значениями и собственными векторами линейных операторов.

Шаг 1: Определим оператор зеркального отражения

Зеркальное отражение относительно плоскости \(2x + 41y + 38z = 0\) задано как симметрия относительно этой плоскости. Плоскость \(2x + 41y + 38z = 0\) имеет нормальный вектор \(\mathbf{n} = (2, 41, 38)\). Отражение вектора \(\mathbf{v}\) относительно плоскости с нормальным вектором \(\mathbf{n}\) можно выразить через формулу: \[\mathbf{v'} = \mathbf{v} - 2 \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n}\]

Шаг 2: Доказательство, что \(\lambda = -1\) является собственным значением

Нужно показать, что \(\mathbf{v'} = -\mathbf{v}\) для некоторого ненулевого вектора \(\mathbf{v}\). \[\mathbf{v'} = \mathbf{v} - 2 \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n}\] Если \(\mathbf{v'} = -\mathbf{v}\), то: \[ -\mathbf{v} = \mathbf{v} - 2 \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n} \] \[ -\mathbf{v} - \mathbf{v} = - 2 \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n} \] \[ -2\mathbf{v} = - 2 \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n} \] \[ \mathbf{v} = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}}{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}} \mathbf{n} \] Эта формула всегда выполняется для векторов, параллельных \(\mathbf{n}\).

Шаг 3: Найдём собственный вектор вида \((2, \alpha, \beta)\)

Предположим, что наш собственный вектор \(\mathbf{v} = (2, \alpha, \beta)\) параллелен нормальному вектору \(\mathbf{n} = (2, 41, 38)\). Рассмотрим: \[(2, \alpha, \beta) = k (2, 41, 38)\] Для некоторых \(k\). Из этого следует, что: \[2 = 2k\] \[\alpha = 41k\] \[\beta = 38k\] Так как \(2 = 2k\), то \(k = 1\). Следовательно: \[\alpha = 41 \cdot 1 = 41\] \[\beta = 38 \cdot 1 = 38\] Итак, \(\mathbf{v} = (2, 41, 38)\) является собственным вектором.

Ответ:

\[41, 38\]