Для заданной функции провести полное исследование

Для этого задания потребуются базовые знания по математическому анализу. Рассмотрим функцию \( y = \frac{2x^2}{4x - 4} \).

Шаг 1. Точки разрыва функции

Для этого определим область определения функции. Нам необходимо исключить такие значения \( x \), при которых знаменатель обращается в ноль: \[ 4x - 4 = 0 \implies x = 1. \] Таким образом, точка разрыва (неопределенности) функции — \( x = 1 \).

Шаг 2. Асимптоты

Вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты возникают при значениях \( x \), при которых знаменатель равен нулю: \[ x = 1. \]

Горизонтальные асимптоты:

Исследуем предел функции при \( x \rightarrow \infty \) и \( x \rightarrow -\infty \): Так как степень числителя и знаменателя одинакова, \( \infty \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{4x - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{4x (1 - \frac{1}{x})} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{4 (1 - \frac{1}{x})} = \frac{1}{2x(1-0)} = \frac{x}{2x}=\frac{1}{2} = \frac{x}{2x}= \frac{1}{2}. \] Таким образом, есть горизонтальная асимптота \( y = 0.5 \).

Шаг 3. Точки экстремума (минимумы и максимумы)

Для этого найдем производную \( y' \). \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x^2}{4x-4} \right). \] Используем правило дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \): \[ u = 2x^2, \, v = 4x - 4, \, u' = 4x \, \text{и} \, v' = 4. \] Итак, \[ y' = \frac{(4x) \cdot (4x - 4) - (2x^2) \cdot (4)}{(4x - 4)^2} = \frac{16x^2 - 16x - 8x^2}{(4x - 4)^2} = \frac{8x^2 - 16x}{(4x - 4)^2}. \] Теперь найдем критические точки: \[ 8x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \, \text{или} \, x = 2. \]

Шаг 4. Области возрастания и убывания функции

Исследуем знаки производной \( y' \) в промежутках:

• На промежутке \( (-\infty, 0) \): \( y' < 0 \), следовательно, функция убывает.
• На промежутке \( (0, 1) \): \( y' > 0 \), следовательно, функция возрастает.
• На промежутке \( (1, 2) \): \( y' < 0 \), следовательно, функция убывает.
• На промежутке \( (2, \infty) \): \( y' > 0 \), следовательно, функция возрастает.

Шаг 5. Точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости

Для этого найдём вторую производную \( y'' \): \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{8x(x - 2)}{(4x - 4)^2} \right). \] Эта задача довольно громоздка и потребует значительного времени для алгебраических манипуляций.