Для данных последовательностей 1)-3)а) написать 4 первых членов (можно использовать калькулятор);б) построить их график;в) изобразить на координатной прямой;г) пользуясь определением предела числовой последовательности, доказатьравенство lim xn = a

Это задание по предмету "Математика", раздел "Математический анализ" или "Теория пределов".

Рассмотрим каждую из последовательностей по отдельности и выполним указанные действия.

Последовательность 1

а) Написать первые 4 члена последовательности:

x_n = \frac{3}{2n^2 + 5}

• для n=1: x_1 = \frac{3}{2(1)^2 + 5} = \frac{3}{7} \approx 0.4286
• для n=2: x_2 = \frac{3}{2(2)^2 + 5} = \frac{3}{13} \approx 0.2308
• для n=3: x_3 = \frac{3}{2(3)^2 + 5} = \frac{3}{23} \approx 0.1304
• для n=4: x_4 = \frac{3}{2(4)^2 + 5} = \frac{3}{37} \approx 0.0811

б) Построить их график:

Для построения графика последовательности используем координаты: (1, 0.4286), (2, 0.2308), (3, 0.1304), (4, 0.0811). Соединяем точки плавной кривой.

в) Изобразить на координатной прямой:

Располагаем точки 0.4286, 0.2308, 0.1304, 0.0811 на координатной прямой.

г) Предел последовательности:

\lim_{n \to \infty} \frac{3}{2n^2 + 5} = 0

Чтобы доказать это, для любого \epsilon > 0, существует N такое, что для всех n > N, \left| \frac{3}{2n^2 + 5} - 0 \right| < \epsilon

Так как \frac{3}{2n^2 + 5} < \frac{3}{2n^2} = \frac{3}{2n^2}, для обеспечения неравенства: \frac{3}{2n^2} < \epsilon

Решая уравнение относительно n, мы получаем: n > \sqrt{\frac{3}{2\epsilon}}

Для \epsilon = 0.01: n > \sqrt{\frac{3}{0.02}} \approx 12.247

Таким образом, N = 13.

Последовательность 2

a) Написать первые 4 члена последовательности:

x_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3}

• для n=1: x_1 = \frac{1 - 2 \cdot 1}{5 \cdot 1 + 3} = \frac{-1}{8} = -0.125
• для n=2: x_2 = \frac{1 - 2 \cdot 2}{5 \cdot 2 + 3} = \frac{-3}{13} \approx -0.2308
• для n=3: x_3 = \frac{1 - 2 \cdot 3}{5 \cdot 3 + 3} = \frac{-5}{18} \approx -0.2778
• для n=4: x_4 = \frac{1 - 2 \cdot 4}{5 \cdot 4 + 3} = \frac{-7}{23} \approx -0.3043

б) Построить их график:

Для построения графика последовательности используем координаты: (1, -0.125), (2, -0.2308), (3, -0.2778), (4, -0.3043). Соединяем точки плавной кривой.

в) Изобразить на координатной прямой:

Располагаем точки -0.125, -0.2308, -0.2778, -0.3043 на координатной прямой.

г) Предел последовательности:

\lim_{n \to \infty} \frac{1 - 2n}{5n + 3} = -\frac{2}{5}

Доказываем это: Для любого \epsilon > 0, существует N такое, что для всех n > N:

\left| \frac{1-2n}{5n + 3} + \frac{2}{5} \right| < \epsilon

Решая уравнение и приводя к общему знаменателю, мы получаем:

\left| \frac{5(1-2n) + 2(5n + 3)}{5(5n + 3)} \right| < \epsilon

Упрощаем числитель: \left| \frac{5-10n + 10n + 6}{5(5n + 3)} \right| = \left| \frac{11}{5(5n + 3)} \right| < \epsilon

Для обеспечения неравенства: \frac{11}{5(5n + 3)} < \epsilon

n > \frac{11}{25\epsilon} - \frac{3}{5}

Для \epsilon = 0.03: n > \frac{11}{0.75} - 0.6 \approx 14.67

Таким образом, N = 15.

Последовательность 3

a) Написать первые 4 члена последовательности:

x_n = \frac{n^5}{2n^5 + n + 1}

• для n=1: x_1 = \frac{(1)^5}{2(1)^5 + 1 + 1} = \frac{1}{4} = 0.25
• для n=2: x_2 = \frac{(2)^5}{2(2)^5 + 2 + 1} = \frac{32}{67} \approx 0.4776
• для n=3: x_3 = \frac{(3)^5}{2(3)^5 + 3 + 1} = \frac{243}{488} \approx 0.49795
• для n=4: x_4 = \frac{(4)^5}{2(4)^5 + 4 + 1} = \frac{1024}{2053} \approx 0.498536

б) Построить их график:

Для построения графика последовательности используем координаты: (1, 0.25), (2, 0.4776), (3, 0.49795), (4, 0.498536). Соединяем точки плавной кривой.

в) Изобразить на координатной прямой:

Располагаем точки 0.25, 0.4776, 0.49795, 0.498536 на координатной прямой.

г) Предел последовательности:

\lim_{n \to \infty} \frac{n^5}{2n^5 + n + 1} = \frac{1}{2}

Чтобы доказать это, для любого \epsilon > 0, существует N такое, что для всех n > N:

\left| \frac{n^5}{2n^5 + n + 1} - \frac{1}{2} \right| < \epsilon

Решая уравнение и приводя к общему знаменателю, мы получаем:

\left| \frac{2n^5 - (2n^5 + n + 1)}{2(2n^5 + n + 1)} \right| = \left| \frac{-n - 1}{2(2n^5 + n + 1)} \right|

\Approx \left| \frac{-n}{4n^5} \right| = \left| \frac{-1}{4n^4} \right| < \epsilon

Для обеспечения неравенства: \frac{1}{4n^4} < \epsilon

n^4 > \frac{1}{4\epsilon}

Для \epsilon = 0.001: n > \sqrt[4]{\frac{1}{0.004}} \approx 7.937

Таким образом, N =rbrace