Для данных последовательностей 1)-3)а) написать 4 первых членов (можно использовать калькулятор);б) построить их график;в) изобразить на координатной прямой;

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Математический анализ", а точнее к теме "Последовательности". Рассмотрим каждую последовательность по порядку и выполним все этапы для них.

Последовательность 1

\[ x_n = \frac{3}{2n^2 + 5} \]

а) Написать 4 первых члена последовательности

Подставим \( n = 1, 2, 3, 4 \):

• \( x_1 = \frac{3}{2 \cdot 1^2 + 5} = \frac{3}{7} \approx 0.4286 \)
• \( x_2 = \frac{3}{2 \cdot 2^2 + 5} = \frac{3}{13} \approx 0.2308 \)
• \( x_3 = \frac{3}{2 \cdot 3^2 + 5} = \frac{3}{23} \approx 0.1304 \)
• \( x_4 = \frac{3}{2 \cdot 4^2 + 5} = \frac{3}{37} \approx 0.0811 \)

Таким образом, первые 4 члена последовательности: \[ 0.4286, 0.2308, 0.1304, 0.0811 \]

б) Построить их график

Для построения графика последовательности нарисуем точки \( (1, 0.4286), (2, 0.2308), (3, 0.1304), (4, 0.0811) \).

в) Изобразить на координатной прямой

На координатной прямой отметим эти точки в положительных частях оси X:

• 1: 0.4286
• 2: 0.2308
• 3: 0.1304
• 4: 0.0811

Последовательность 2

\[ x_n = \frac{1 - 2n}{5n + 3} \]

а) Написать 4 первых члена последовательности

Подставим \( n = 1, 2, 3, 4 \):

• \( x_1 = \frac{1 - 2 \cdot 1}{5 \cdot 1 + 3} = \frac{-1}{8} = -0.125 \)
• \( x_2 = \frac{1 - 2 \cdot 2}{5 \cdot 2 + 3} = \frac{1 - 4}{10 + 3} = \frac{-3}{13} \approx -0.2308 \)
• \( x_3 = \frac{1 - 2 \cdot 3}{5 \cdot 3 + 3} = \frac{1 - 6}{15 + 3} = \frac{-5}{18} \approx -0.2777 \)
• \( x_4 = \frac{1 - 2 \cdot 4}{5 \cdot 4 + 3} = \frac{1 - 8}{20 + 3} = \frac{-7}{23} \approx -0.3043 \)

Таким образом, первые 4 члена последовательности: \[ -0.125, -0.2308, -0.2777, -0.3043 \]

б) Построить их график

Для построения графика последовательности нарисуем точки \( (1, -0.125), (2, -0.2308), (3, -0.2777), (4, -0.3043) \).

в) Изобразить на координатной прямой

На координатной прямой отметим эти точки в отрицательных частях оси X:

• 1: -0.125
• 2: -0.2308
• 3: -0.2777
• 4: -0.3043

Последовательность 3

\[ x_n = \frac{n^5}{2n^5 + n + 1} \]

а) Написать 4 первых члена последовательности

Подставим \( n = 1, 2, 3, 4 \):

• \( x_1 = \frac{1^5}{2 \cdot 1^5 + 1 + 1} = \frac{1}{2 + 1 + 1} = \frac{1}{4} = 0.25 \)
• \( x_2 = \frac{2^5}{2 \cdot 2^5 + 2 + 1} = \frac{32}{2 \cdot 32 + 2 + 1} = \frac{32}{64 + 2 + 1} = \frac{32}{67} \approx 0.4776 \)
• \( x_3 = \frac{3^5}{2 \cdot 3^5 + 3 + 1} = \frac{243}{2 \cdot 243 + 3 + 1} = \frac{243}{486 + 3 + 1} = \frac{243}{490} \approx 0.4959 \)
• \( x_4 = \frac{4^5}{2 \cdot 4^5 + 4 + 1} = \frac{1024}{2 \cdot 1024 + 4 + 1} = \frac{1024}{2048 + 4 + 1} = \frac{1024}{2053} \approx 0.4985 \)

Таким образом, первые 4 члена последовательности: \[ 0.25, 0.4776, 0.4959, 0.4985 \]

б) Построить их график

Для построения графика последовательности нарисуем точки \( (1, 0.25), (2, 0.4776), (3, 0.4959), (4, 0.4985) \).

в) Изобразить на координатной прямой

На координатной прямной отметим эти точки в положительных частях оси X:

• 1: 0.25
• 2: 0.4776
• 3: 0.4959
• 4: 0.4985