Данный вопрос относится к предмету "Математика", а именно к разделу "Математический анализ".

Задача включает нахождение градиента функции двух переменных и вычисление его величины в заданной точке. Разберем процесс решения подробно:

1. Вычисление частных производных:

Функция \( f(x, y) = y \sqrt{3x - y} \).

Найдем частную производную по \( x \):

Частная производная по \( x \) обозначается как \( f_x \).

\[ f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( y \sqrt{3x - y} \right) \]

Используем правило произведения и цепное правило.

\[ \frac{\partial}{\partial x} \left( y \sqrt{3x - y} \right) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x} \left( \sqrt{3x - y} \right) \]

Заменим \( u = 3x - y \) для упрощения деления:

\[ \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{3x - y}} \cdot 3 \]

Итого:

\[ f_x = y \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - y}} = \frac{3y}{2\sqrt{3x - y}} \]

Найдем частную производную по \( y \):

Частная производная по \( y \) обозначается как \( f_y \).

\[ f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left( y \sqrt{3x - y} \right) \]

Используем правило произведения:

\[ \frac{\partial}{\partial y} ( y \sqrt{3x - y} ) = 1 \cdot \sqrt{3x - y} + y \cdot \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt{3x - y} \right) \]

Снова используем цепное правило:

\[ \frac{\partial}{\partial y} \left( \sqrt{3x - y} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3x - y}} \cdot (-1) = \frac{-1}{2\sqrt{3x - y}} \]

Итак:

\[ f_y = \sqrt{3x - y} + y \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3x - y}} = \sqrt{3x - y} - \frac{y}{2\sqrt{3x - y}} \]

Приводим к общему знаменателю:

\[ f_y = \frac{2(3x - y) - y}{2\sqrt{3x - y}} = \frac{6x - 3y}{2\sqrt{3x - y}} = \frac{6x - 3y}{2\sqrt{3x - y}} \]

2. Найдем вектор градиента в точке \( M(1;1) \):

\( f(x,y) = y \sqrt{3x - y} \)

Находим \( f_x \) в точке \( (1, 1) \):

\[ f_x(1, 1) = \frac{3 \cdot 1}{2\sqrt{3 \cdot 1 - 1}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \]

Находим \( f_y \) в точке \( (1, 1) \):

\[ f_y(1, 1) = \frac{6 \cdot 1 - 3 \cdot 1}{2\sqrt{3 \cdot 1 - 1}} = \frac{3}{2 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \]

Таким образом, вектор градиента в точке \( M(1;1) \) имеет вид:

\[ \nabla f(1, 1) = \left( f_x(1, 1), f_y(1, 1) \right) = \left(\frac{3 \sqrt{2}}{4}, \frac{3 \sqrt{2}}{4} \right) \]

3. Величина градиента:

Величина градиента (норма вектора градиента) вычисляется по формуле:

\[ || \nabla f || = \sqrt{ \left( \frac{3 \sqrt{2}}{4} \right)^2 + \left( \frac{3 \sqrt{2}}{4} \right)^2 } \]

\[ || \nabla f || = \sqrt{ \frac{(3 \sqrt{2})^2}{16} + \frac{(3 \sqrt{2})^2}{16} } = \sqrt{ \frac{36}{16} } = \sqrt{ 2.25 } = 1.5 \]

Итак, величина градиента в точке \( M(1,1) \) составляет \( 1.5 \).