Для данной функции f(x,y) найти вектор градиента функции в точке М (1;1); и величину найденного градиента

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Математический анализ".

Нам нужно найти вектор градиента функции \( f(x, y) \) в точке \( M(1, 1) \), а затем определить величину найденного градиента. Дана функция: \[ f(x, y) = \frac{x}{\sqrt{2x + 6y}} \]

Для нахождения градиента нам нужно взять частные производные функции \( f(x, y) \) по \( x \) и \( y \).

1. Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} \]

Используем правило частного для нахождения производной: \[ f(x, y) = \frac{u(x, y)}{v(x, y)} \] где \( u(x, y) = x \) и \( v(x, y) = \sqrt{2x + 6y} \). Производная будет: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Находим \( u' = 1 \): \[ u = x \Rightarrow u' = 1 \]

Теперь производная \( v \): \[ v = \sqrt{2x + 6y} \Rightarrow v' = \frac{1}{2}(2x + 6y)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{2}{2\sqrt{2x + 6y}} = \frac{1}{\sqrt{2x + 6y}} \]

Теперь можно подставить все в формулу: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 \cdot \sqrt{2x + 6y} - x \cdot \frac{1}{\sqrt{2x + 6y}}}{(2x + 6y)} \]

Упрощаем выражение: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(2x + 6y) - x}{(2x + 6y)\sqrt{2x + 6y}} = \frac{2x + 6y - x}{(2x + 6y)\sqrt{2x + 6y}} = \frac{x + 6y}{(2x + 6y)\sqrt{2x + 6y}} \]

2. Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} \]

Используем то же правило: \[ u = x \] \[ v = \sqrt{2x + 6y} \] \[ u' = 0 \quad (\text{так как u не зависит от y}) \]

Производная \( v \) та же: \[ v' = \frac{6}{2\sqrt{2x + 6y}} = \frac{3}{\sqrt{2x + 6y}} \]

Теперь подставляем: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{0 \cdot \sqrt{2x + 6y} - x \cdot \frac{3}{\sqrt{2x + 6y}}}{(2x + 6y)} = -\frac{3x}{(2x + 6y)\sqrt{2x + 6y}} \]

Итак, частные производные найдены: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x + 6y}{(2x + 6y)\sqrt{2x + 6y}} \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{3x}{(2x + 6y)\sqrt{2x + 6y}} \]

Теперь определим вектор градиента в точке \( M(1, 1) \): \[ \nabla f(1, 1) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]

Подставляем \( x = 1 \) и \( y = 1 \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(1, 1)} = \frac{1 + 6 \cdot 1}{(2 \cdot 1 + 6 \cdot 1) \cdot \sqrt{2 \cdot 1 + 6 \cdot 1}} = \frac{7}{8 \cdot \sqrt{8}} = \frac{7}{8 \cdot 2 \sqrt{2}} = \frac{7}{16 \sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{32} \]

\[ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(1, 1)} = -\frac{3 \cdot 1}{(2 \cdot 1 + 6 \cdot 1) \cdot \sqrt{2 \cdot 1 + 6 \cdot 1}} = -\frac{3}{8 \cdot \sqrt{8}} = -\frac{3}{8 \cdot 2 \sqrt{2}} = -\frac{3}{16 \sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{32} \]

Теперь, вектор градиента в точке \( M(1, 1) \): \[ \nabla f(1, 1) = \left( \frac{7\sqrt{2}}{32}, -\frac{3\sqrt{2}}{32} \right) \]

Для нахождения величины найденного градиента используем формулу: \[ \|\nabla f\| = \sqrt{ \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right)^2 } \]

Подставляем значения: \[ \|\nabla f(1, 1)\| = \sqrt{ \left( \frac{7\sqrt{2}}{32} \right)^2 + \left( -\frac{3\sqrt{2}}{32} \right)^2 } \]

\[ = \sqrt{ \frac{(7\sqrt{2})^2}{32^2} + \frac{(3\sqrt{2})^2}{32^2} } \]

\[ = \sqrt{ \frac{98}{1024} + \frac{18}{1024} } \]

\[ = \sqrt{ \frac{116}{1024} } \]

\[ = \sqrt{ \frac{29}{256} } \]

\[ = \frac{\sqrt{29}}{16} \]

Итак, - Вектор градиента в точке \( М(1,1) \): \( \nabla f(1, 1) = \left( \frac{7\sqrt{2...