Для данной функции f(x,y) найти частные производные первого порядка и выписать полный дифференциал первого порядка в точке М(1;1)

Задание относится к предмету математического анализа, разделом которого является дифференцирование функций нескольких переменных.

Для данной функции \( f(x,y) = e^{2x^2 + xy - 3y} \) необходимо найти частные производные первого порядка и выписать полный дифференциал первого порядка в точке \(M(1,1)\).

Частные производные первого порядка:

1. Частная производная по \( x \):
   Функция \( f(x,y) \) представляет собой экспоненциальную функцию, где производная экспоненты \( e^u \) (по аргументу \( u \)) равна \( e^u \) умноженной на производную её внутренней функции \( u \). Дадим нашей внутренней функции имя \( u = 2x^2 + xy - 3y \). Теперь найдём производную по \( x \):
   \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (2x^2 + xy - 3y) = 4x + y \]
   Подставляем эту производную во внешнюю:
   \[ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{2x^2 + xy - 3y} \cdot (4x + y) \]
2. Частная производная по \( y \):
   Аналогично находим производную внутренней функции \( u \) по переменной \( y \):
   \[ \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x^2 + xy - 3y) = x - 3 \]
   Подставляем эту производную во внешнюю:
   \[ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{2x^2 + xy - 3y} \cdot (x - 3) \]

Частные производные в точке \( M(1,1) \):

Теперь подставляем \( x = 1 \) и \( y = 1 \) в частные производные:

1. \( \frac{\partial f}{\partial x} \) в точке \( (1,1) \):
   \[ \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1,1)} = e^{2 \cdot 1^2 + 1 \cdot 1 - 3 \cdot 1} \cdot (4 \cdot 1 + 1) = e^{2 + 1 - 3} \cdot 5 = e^0 \cdot 5 = 5 \]
2. \( \frac{\partial f}{\partial y} \) в точке \( (1,1) \):
   \[ \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1,1)} = e^{2 \cdot 1^2 + 1 \cdot 1 - 3 \cdot 1} \cdot (1 - 3) = e^{2 + 1 - 3} \cdot (-2) = e^0 \cdot (-2) = -2 \]

Полный дифференциал первого порядка в точке \( M(1,1) \):

Полный дифференциал функции \( f(x, y) \) можно записать следующим образом:
\[ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \]
Подставляем частные производные в точке \( (1,1) \):
\[ df|_{(1,1)} = 5 dx - 2 dy \]
Итак, частные производные первого порядка для функции \( f(x,y) \) в точке \( M(1,1) \) равны 5 и -2, а полный дифференциал первого порядка в этой точке имеет вид:
\[ df = 5 dx - 2 dy \]