Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Для данной функции f (x, y) найти вектор градиентафункции в точке M (1;1); и величину найденного градиента
Условие:
Для данной функции f (x, y) найти вектор градиента функции в точке M (1;1); и величину найденного градиента
Решение:
Этот вопрос относится к предмету "математика", раздел "дифференциальное исчисление".
Задание заключается в нахождении вектора градиента функции \( f(x, y) \) в заданной точке и вычислении его величины. Функция задана как: \[ f(x, y) = \frac{y}{\sqrt{5y - 2x}} \]
1. Найдём частные производные.
Для нахождения градиента функции необходимо найти частные производные функции \( f \) по переменным \( x \) и \( y \). Определим частную производную \( f \) по \( x \):
\[ f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{y}{\sqrt{5y - 2x}} \right) \]Используем правило производной частного:
\[ f_x(x, y) = y \cdot \frac{\partial}{\partial x} ( \frac{1}{\sqrt{5y - 2x}} ) + \frac{1}{\sqrt{5y - 2x}} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} \]Так как \( \frac{\partial y}{\partial x} = 0 \), останется:
\[ f_x(x, y) = y \cdot \left( \frac{-1}{2(5y - 2x)^{3/2}} \cdot (-2) \right) \]Когда вычтем:
\[ f_x(x, y) = y \cdot \left( \frac{1}{(5y - 2x)^{3/2}} \right) \]Таким образом, частная производная функции \( f \) по \( x \) равна:
\[ f_x(x, y) = \frac{y}{(5y - 2x)^{3/2}} \]Теперь найдём частную производную \( f \) по \( y \):
\[ f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{\sqrt{5y - 2x}} \right) \]Опять же используем правило производной частного:
\[ f_y(x, y) = \frac{\sqrt{5y - 2x} \cdot 1 - y \cdot \frac{\partial}{\partial y} ( \sqrt{5y - 2x} )}{(5y - 2x)} \]И знаем, что:
\[ \frac{\partial}{\partial y} ( \sqrt{5y - 2x} ) = \frac{1}{2\sqrt{5y - 2x}} \cdot 5 \]В итоге:
\[ f_y(x, y) = \frac{\sqrt{5y - 2x} - y \cdot \frac{5}{2\sqrt{5y - 2x}}}{5y - 2x} \] \[ f_y(x, y) = \frac{2(5y - 2x) - 5y}{2\sqrt{5y - 2x}(5y - 2x)} \] \[ f_y(x, y) = \frac{10y - 4x - 5y}{2(5y - 2x)^{3/2}} \] \[ f_y(x, y) = \frac{5y - 4x}{2(5y - 2x)^{3/2}} \]2. Вычислим градиент в точке \( M(1, 1) \).
Теперь найдём значения частных производных в точке \( (1,1) \):
\[ f_x(1, 1) = \frac{1}{(5 \cdot 1 - 2 \cdot 1)^{3/2}} = \frac{1}{3^{3/2}} = \frac{1}{3\sqrt{3}} \] \[ f_y(1, 1) = \frac{5 \cdot 1 - 4 \cdot 1}{2 (5 \cdot 1 - 2 \cdot 1)^{3/2}} = \frac{5 - 4}{2 \cdot 3^{3/2}} = \frac{1}{2 \cdot 3 \sqrt{3}} = \frac{1}{6\sqrt{3}} \]Градиент функции в точке \( (1, 1) \) есть вектор:
\[ \nabla f(1, 1) = \left( \frac{1}{3\sqrt{3}}, \frac{1}{6\sqrt{3}} \right) \]3. Найдём величину градиента:
Величина градиента определяется как:
\[ \|\nabla f(1, 1)\| = \sqrt{ \left( \frac{1}{3\sqrt{3}} \right)^2 + \left( \frac{1}{6\sqrt{3}} \right)^2 } \] \[ \|\nabla f(1,1)\| = \sqrt{ \frac{1}{27} + \frac{1}{108} } = \sqrt{ \frac{4}{108} } = \sqrt{ \frac{1}{27} } \] \[ \|\nabla f(1,1)\| = \frac{1}{3\sqrt{3}} \]Итак, величина найденного градиента: \[ \|\nabla f(1,1)\| = \frac{1}{3\sqrt{3}} \]
Таким образом, вектор градиента функции \( f(x, y) \) в точке \( (1, 1) \) равен \( \left( \frac{1}{3\sqrt{3}}, \frac{1}{6\sqrt{3}} \right) \), а его величина равна \( \frac{1}/{3\sqrt{3}} \).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку