Для данной функции f (x, y) найти частные производные первого порядка и выписать полный дифференциал первогопорядка в точке M(1;1)

Прежде чем приступить к решению задания, определим его предмет и раздел.

Это задание по математике, а точнее - по разделу математического анализа. В данном случае речь идет о частных производных и полном дифференциале функции нескольких переменных.

Шаг 1: Найдем частные производные первого порядка.

Функция задана как \( f(x, y) = e^{5y - x^4 + xy} \). Частные производные первого порядка - это производные функции \( f \) по каждой переменной при фиксированной другой переменной.

1.1 \(\frac{\partial f}{\partial x}\):

Используем правило дифференцирования сложной функции. \[ f(x, y) = e^{5y - x^4 + xy} \] Обозначим \( g(x, y) = 5y - x^4 + xy \), тогда \( f(x, y) = e^{g(x, y)} \). По правилу цепочки: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{g(x, y)} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} \] Теперь найдем \(\frac{\partial g}{\partial x}\):

\[ g(x, y) = 5y - x^4 + xy \] \[ \frac{\partial g}{\partial x} = -4x^3 + y \] Подставим это в выражение для частной производной: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = e^{5y - x^4 + xy} \cdot (-4x^3 + y) \]

1.2 \(\frac{\partial f}{\partial y}\):

Аналогично используем правило цепочки. \[ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{g(x, y)} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} \] Теперь найдем \(\frac{\partial g}{\partial y}\):

\[ g(x, y) = 5y - x^4 + xy \] \[ \frac{\partial g}{\partial y} = 5 + x \] Подставим это в выражение для частной производной: \[ \frac{\partial f}{\partial y} = e^{5y - x^4 + xy} \cdot (5 + x) \]

Шаг 2: Выпишем полный дифференциал первого порядка в точке \( M(1, 1) \).

Полный дифференциал функции \( f \) в произвольной точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид: \[ df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \]

Найдем значения частных производных в точке \( M(1, 1) \):

2.1 В точке \( (1, 1) \): \[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1) = e^{5 - 1 + 1} \cdot (-4 \cdot 1^3 + 1) = e^{5} \cdot (-4 + 1) = -3e^{5} \]

2.2 В точке \( (1, 1) \): \[ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1) = e^{5 - 1 + 1} \cdot (5 + 1) = e^{5} \cdot 6 = 6e^{5} \]

Подставим в выражение для дифференциала: \[ df = (-3e^5) dx + (6e^5) dy \]

Итак, полный дифференциал функции \( f(x, y) \) в точке \( M(1, 1) \) записывается как: \[ df = -3e^5 \, dx + 6e^5 \, dy. \]