Для данной функции найти все частные производные второго порядка

Это задание относится к предмету математический анализ, а конкретно к разделу дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Для данной функции \( f(x, y) = \ln(5x - y^2) \) нужно найти частные производные второго порядка и показать, что \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \).

Найдём частные производные первого порядка.

1. Частная производная по \(x\): \[ f_x = \frac{\partial}{\partial x} \ln(5x - y^2) \] Используя правило дифференцирования логарифма: \[ f_x = \frac{1}{5x - y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (5x - y^2) \] Выражение в скобках дифференцируем как \(5x\): \[ f_x = \frac{1}{5x - y^2} \cdot 5 \] \[ f_x = \frac{5}{5x - y^2} \]
2. Частная производная по \(y\): \[ f_y = \frac{\partial}{\partial y} \ln(5x - y^2) \] Используя правило дифференцирования логарифма: \[ f_y = \frac{1}{5x - y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (5x - y^2) \] Выражение в скобках дифференцируем как \(-y^2\): \[ f_y = \frac{1}{5x - y^2} \cdot (-2y) \] \[ f_y = \frac{-2y}{5x - y^2} \]

Найдём частные производные второго порядка.

1. Частная производная второго порядка по \(x\): \[ f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{5}{5x - y^2} \right) \] Используя правило производной частного: \[ f_{xx} = 5 \cdot \left( \frac{\partial}{\partial x} (5x - y^2)^{-1} \right) \] Используем формулу производной для обратной функции: \[ \left(5x - y^2\right)^{-1} = (5x - y^2)^{-1} \] Соответственно: \[ f_{xx} = 5 \left(-1\right) (5x - y^2)^{-2} \cdot 5 \] \[ f_{xx} = -25 \cdot (5x - y^2)^{-2} \] \[ f_{xx} = \frac{-25}{(5x - y^2)^2} \]
2. Частная производная второго порядка по \(y\): \[ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-2y}{5x - y^2} \right) \] Здесь также используем правило производной частного: \[ f_{yy} = \frac{(5x - y^2) \cdot (-2) - (-2y) \cdot \left(-2y\right)}{(5x - y^2)^2} \] \[ f_{yy} = \frac{-(5x - y^2) \cdot 2 - 4y^2}{(5x - y^2)^2} \] \[ f_{yy} = \frac{-2(5x - y^2) - 4y^2}{(5x - y^2)^2} \] \[ f_{yy} = \frac{-10x + 2y^2 - 4y^2}{(5x - y^2)^2} \] \[ f_{yy} = \frac{-10x - 2y^2}{(5x - y^2)^2} \]

Найдём смешанные частные производные:

1. Сначала по \(x\), потом по \(y\): \[ f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{5}{5x - y^2} \right) \] \[ f_{xy} = 5 \cdot \left( \frac{\partial}{\partial y} (5x - y^2)^{-1} \right) \] Используя цепное правило: \[ \left(5x - y^2\right)^{-1} = (5x - y^2)^{-1} \] Соответственно: \[ f_{xy} = 5 \left(-1\right) (5x - y^2)^{-2} \cdot (-2y) \] \[ f_{xy} = 10y \cdot (5x - y^2)^{-2} \] \[ f_{xy} = \frac{10y}{(5x - y^2)^2} \]
2. Сначала по \(y\), потом по \(x\): \[ f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-2y}{5x - y^2} \right) \] Аналогичным образом: \[ f_{yx} = -2y \cdot \left( \frac{\partial}{\partial x} (5x - y^2)^{-1} \right) \] Используем цепное правило: \[ \left(5x - y^2\right)^{-1} = (5x - y^2)^{-1} \] Соответственно: \[ f_{yx} = -2y (-1) (5x - y^2)^{-2} \cdot 5 \] \[ f_{yx} = 10y \cdot (5x - y^2)^{-2} \] \[ f_{yx} = \frac{10y}{(5x - y^2)^2} \]

Таким образом, мы показали, что \( f_{xy} = f_{yx} \): \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{10y}{(5x - y^2)^2} \] \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{10y}{(5x - y^2)^2} \]

Итог:

• Найдены все частные производные второго порядка: \[ f_{xx} = \frac{-25}{(5x - y^2)^2} \] \[ f_{yy} = \frac{-10x - 2y^2}{(5x - y^2)^2} \] \[ f_{xy} = f_{yx} = \frac{10y}{(5x - y^2)^2} \]
• Показано, что \( f_{xy} = f_{yx} \).