Дифференцированное исчисление

Данный пример относится к предмету математического анализа, а именно к разделу, связанному с пределами функций. Необходимо найти предел выражения \(\lim_{x \to 0} (x^{x^2} - 1)\). Рассмотрим это решение шаг за шагом:

1. Исследование поведения выражения при \( x \to 0 \): \( x^{x^2} \) при \( x \to 0 \).
2. Применение формулы предела с логарифмированием: Так как выражение имеет вид основания в степени переменной, которое стремится к 0 в основании (x → 0), используем логарифм для упрощения. Введём: \[ y = x^{x^2} \] Тогда: \[ \ln y = x^2 \ln x \]
3. Найти предел логарифма: Найдем предел выражения \( \ln y \): \[ \lim_{x \to 0} (x^2 \ln x) \]
4. Использование известного предела: Известно, что \(\lim_{x \to 0} x \ln x = 0\). Таким образом, \[ x^2 = (x^2) \cdot \ln x \] Проведём замену: \[ t = \ln x \, \text{и тогда } \, x = e^t \, \text{при t → -∞} \]
5. Переписываем предел: Упростим: \[ \lim_{t \to -\infty} (e^{2t} \cdot t) \]
6. Применяем правило Лопиталя (если это возможно): При \( t \to -\infty \): \[ \lim_{t \to -\infty} e^{2t} = 0 \quad \text{и} \quad t \cdot e^{2t} \to 0 \]
7. Находим итоговый предел: Так, можно записать результат предела выражения: \[ \ln y = 0 \implies y = e^0 \] Поэтому \( y = 1 \).
8. Получение исходного ответа: Таким образом, \[ \lim_{x \to 0} x^{x^2} = 1 \] Однако, не стоит забывать о вычитании 1: \[ \lim_{x \to 0} (x^{x^2} - 1) = 1 - 1 = 0. \]

Итог: \[ \lim_{x \to 0} (x^{x^2} - 1) = 0. \] Таким образом, предел данного выражения равен 0.